Representación de Clebsch

En física y matemáticas , la representación de Clebsch de un campo vectorial tridimensional arbitrario es: ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}})}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$$

donde los campos escalares y se conocen como potenciales de Clebsch ^[3] o potenciales de Monge , ^[4] llevan el nombre de Alfred Clebsch (1833-1872) y Gaspard Monge (1746-1818), y es el operador de gradiente . ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle ,\psi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \chi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$

Fondo

En dinámica de fluidos y física del plasma , la representación de Clebsch proporciona un medio para superar las dificultades para describir un flujo no viscoso con vorticidad distinta de cero (en el marco de referencia euleriano ) utilizando la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . ^{[5] [6] [7]} En el punto crítico de tales funcionales, el resultado son las ecuaciones de Euler , un conjunto de ecuaciones que describen el flujo de fluido. Nótese que las dificultades mencionadas no surgen al describir el flujo a través de un principio variacional en el sistema de referencia lagrangiano . En el caso de las ondas gravitacionales superficiales , la representación de Clebsch conduce a una forma de flujo rotacional del principio variacional de Luke . ^[8]

Para que la representación de Clebsch sea posible, el campo vectorial debe ser (localmente) acotado , continuo y suficientemente suave . Porque la aplicabilidad global tiene que decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito . ^[9] La descomposición de Clebsch no es única y se necesitan (dos) restricciones adicionales para definir de forma única los potenciales de Clebsch. ^[1] Dado que en general no es solenoidal , la representación de Clebsch no satisface en general la descomposición de Helmholtz . ^[10] ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \psi {\boldsymbol {\nabla }}\chi }$

vorticidad

La vorticidad es igual a ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {x}})}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi \right)={\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$$

con el último paso debido a la identidad del cálculo vectorial, por lo que la vorticidad es perpendicular a ambos y, mientras más, la vorticidad no depende de ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\psi {\boldsymbol {A}})=\psi ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {A}}.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\psi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Notas

1. Cordero (1993, págs. 248-249)
2. Serrin (1959, págs. 169-171)
3. Benjamín (1984)
4. Aris (1962, págs. 70–72)
5. Clebsch (1859)
6. Bateman (1929)
7. Seliger y Whitham (1968)
8. Lucas (1967)
9. Wesseling (2001, pág.7)
10. Wu, Ma y Zhou (2007, pág.43)

Referencias

• Aris, R. (1962), Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos , Prentice-Hall, OCLC  299650765
• Bateman, H. (1929), "Notas sobre una ecuación diferencial que ocurre en el movimiento bidimensional de un fluido compresible y los problemas variacionales asociados", Actas de la Royal Society of London A , 125 (799): 598–618 , Código Bib :1929RSPSA.125..598B, doi : 10.1098/rspa.1929.0189
• Benjamin, T. Brooke (1984), "Impulso, fuerza de flujo y principios variacionales", IMA Journal of Applied Mathematics , 32 (1–3): 3–68, Bibcode : 1984JApMa..32....3B, doi : 10.1093/imamat/32.1-3.3
• Clebsch, A. (1859), "Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1859 (56): 1–10, doi :10.1515/crll.1859.56.1, S2CID  122730522
• Lamb, H. (1993), Hidrodinámica (6ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-60256-1
• Luke, JC (1967), "Un principio variacional para un fluido con una superficie libre", Journal of Fluid Mechanics , 27 (2): 395–397, Bibcode :1967JFM....27..395L, doi :10.1017/ S0022112067000412, S2CID  123409273
• Morrison, PJ (2006). "Dinámica de fluidos hamiltoniana" (PDF) . Mecánica de fluidos hamiltoniana . Enciclopedia de Física Matemática . vol. 2. Elsevier. págs. 593–600. doi :10.1016/B0-12-512666-2/00246-7. ISBN 9780125126663.
• Rund, H. (1976), "Representaciones generalizadas de Clebsch en variedades", Temas de geometría diferencial , Academic Press, págs. 111-133, ISBN 978-0-12-602850-8
• Salmon, R. (1988), "Mecánica de fluidos hamiltoniana", Annual Review of Fluid Mechanics , 20 : 225–256, Bibcode :1988AnRFM..20..225S, doi :10.1146/annurev.fl.20.010188.001301
• Seliger, RL; Whitham, GB (1968), "Principios variacionales en mecánica continua", Actas de la Royal Society of London A , 305 (1440): 1–25, Bibcode :1968RSPSA.305....1S, doi :10.1098/rspa. 1968.0103, S2CID  119565234
• Serrin, J. (1959), "Principios matemáticos de la mecánica de fluidos clásica", en Flügge, S .; Truesdell, C. (eds.), Strömungsmechanik I [ Dinámica de fluidos I ], Enciclopedia de física / Handbuch der Physik, vol. VIII/1, págs. 125–263, Bibcode :1959HDP.....8..125S, doi :10.1007/978-3-642-45914-6_2, ISBN 978-3-642-45916-0, SEÑOR  0108116, Zbl  0102.40503
• Wesseling, P. (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
• Wu, J.-Z.; Ma, H.-Y.; Zhou, M.-D. (2007), Vorticidad y dinámica de vórtices , Springer, ISBN 978-3-540-29027-8