Cálculo tensorial

Extensión del cálculo vectorial a tensores

En matemáticas , el cálculo tensorial , análisis tensorial o cálculo de Ricci es una extensión del cálculo vectorial a los campos tensoriales ( tensores que pueden variar en una variedad , por ejemplo, en el espacio-tiempo ).

Desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro y su alumno Tullio Levi-Civita , ^[1] fue utilizado por Albert Einstein para desarrollar su teoría general de la relatividad . A diferencia del cálculo infinitesimal , el cálculo tensorial permite la presentación de ecuaciones físicas en una forma que es independiente de la elección de coordenadas en la variedad .

El cálculo tensorial tiene muchas aplicaciones en física , ingeniería y ciencias de la computación, incluidas la elasticidad , la mecánica del medio continuo , el electromagnetismo (ver descripciones matemáticas del campo electromagnético ), la relatividad general (ver matemáticas de la relatividad general ), la teoría cuántica de campos y el aprendizaje automático .

Trabajando con uno de los principales defensores del cálculo exterior, Élie Cartan , el influyente geómetra Shiing-Shen Chern resume el papel del cálculo tensorial: ^[2]

En nuestra materia de geometría diferencial, donde se habla de variedades, una dificultad es que la geometría se describe mediante coordenadas, pero las coordenadas no tienen significado. Se les permite sufrir transformaciones. Y para manejar este tipo de situaciones, una herramienta importante es el llamado análisis tensorial, o cálculo de Ricci, que era nuevo para los matemáticos. En matemáticas, tienes una función, la escribes, la calculas, o la sumas, o la multiplicas, o puedes derivar. Tienes algo muy concreto. En geometría, la situación geométrica se describe mediante números, pero puedes cambiar los números arbitrariamente. Así que para manejar esto, necesitas el cálculo de Ricci.

Sintaxis

La notación tensorial hace uso de índices superiores e inferiores en objetos que se utilizan para etiquetar un objeto variable como covariante (índice inferior), contravariante (índice superior) o covariante y contravariante mixtos (que tienen índices superiores e inferiores). De hecho, en la sintaxis matemática convencional, utilizamos índices covariantes cuando trabajamos con sistemas de coordenadas cartesianas con frecuencia sin darnos cuenta de que este es un uso limitado de la sintaxis tensorial como componentes indexados covariantes. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$

La notación tensorial permite un índice superior en un objeto que puede confundirse con operaciones de potencia normales de la sintaxis matemática convencional.

Conceptos clave

Descomposición vectorial

La notación tensorial permite descomponer un vector ( ) en una suma de Einstein que representa la contracción tensorial de un vector base ( o ) con un vector componente ( o ). ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V^{i}}$

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

Cada vector tiene dos representaciones diferentes, una denominada componente contravariante ( ) con una base covariante ( ), y la otra como componente covariante ( ) con una base contravariante ( ). Los objetos tensoriales con todos los índices superiores se denominan contravariantes, y los objetos tensoriales con todos los índices inferiores se denominan covariantes. La necesidad de distinguir entre contravariante y covariante surge del hecho de que cuando punteamos un vector arbitrario con su vector base relacionado con un sistema de coordenadas particular, hay dos formas de interpretar este producto escalar , o lo vemos como la proyección del vector base sobre el vector arbitrario, o lo vemos como la proyección del vector arbitrario sobre el vector base, ambas vistas del producto escalar son completamente equivalentes, pero tienen diferentes elementos componentes y diferentes vectores base: ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$

$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}}$$

$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}}$$

Por ejemplo, en física se parte de un campo vectorial , se descompone respecto de la base covariante y así se obtienen las coordenadas contravariantes. Para las coordenadas cartesianas ortonormales, la base covariante y la contravariante son idénticas, ya que el conjunto de bases en este caso es simplemente la matriz identidad; sin embargo, para sistemas de coordenadas no afines, como los polares o esféricos, es necesario distinguir entre la descomposición mediante el uso de un conjunto de bases contravariante o covariante para generar los componentes del sistema de coordenadas.

Descomposición vectorial contravariante

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}}$

Descomposición vectorial covariante

${\displaystyle {\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

Tensor métrico

El tensor métrico representa una matriz con elementos escalares ( o ) y es un objeto tensor que se utiliza para aumentar o disminuir el índice de otro objeto tensor mediante una operación llamada contracción, permitiendo así que un tensor covariante se convierta en un tensor contravariante, y viceversa. ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle Z^{ij}}$

Ejemplo de reducción de índice mediante tensor métrico:

${\displaystyle T_{i}=Z_{ij}T^{j}}$

Ejemplo de aumento de índice mediante tensor métrico:

${\displaystyle T^{i}=Z^{ij}T_{j}}$

El tensor métrico se define como:

${\displaystyle Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}}$

${\displaystyle Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}}$

Esto significa que si tomamos cada permutación de un conjunto de vectores base y los punteamos unos contra otros, y luego los organizamos en una matriz cuadrada, tendríamos un tensor métrico. La salvedad aquí es cuál de los dos vectores en la permutación se utiliza para la proyección contra el otro vector, esa es la propiedad distintiva del tensor métrico covariante en comparación con el tensor métrico contravariante.

Existen dos tipos de tensores métricos: (1) el tensor métrico contravariante ( ), y (2) el tensor métrico covariante ( ). Estos dos tipos de tensores métricos están relacionados por la identidad: ${\displaystyle Z^{ij}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$

${\displaystyle Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}}$

Para un sistema de coordenadas cartesianas ortonormales , el tensor métrico es simplemente el delta de Kronecker o , que es simplemente un tensor equivalente de la matriz identidad , y . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}}$

Jacobiano

Además, un tensor se puede convertir fácilmente de un sistema de coordenadas sin barras( ) a un sistema de coordenadas con barras( ) que tenga diferentes conjuntos de vectores base: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

$${\displaystyle f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}}$$

mediante el uso de relaciones matriciales jacobianas entre el sistema de coordenadas barrado y no barrado ( ). El jacobiano entre el sistema barrado y no barrado es instrumental para definir los vectores base covariantes y contravariantes, ya que para que estos vectores existan deben satisfacer la siguiente relación relativa al sistema barrado y no barrado: ${\displaystyle {\bar {J}}=J^{-1}}$

Los vectores contravariantes deben obedecer las leyes:

${\displaystyle v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

Los vectores covariantes deben obedecer las leyes:

${\displaystyle v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}}$

Hay dos tipos de matriz jacobiana:

1. La matriz J que representa el cambio de coordenadas sin barras a coordenadas con barras. Para hallar J, tomamos el "gradiente con barras", es decir, la derivada parcial con respecto a : ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

${\displaystyle J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))}$

2. La matriz que representa el cambio de coordenadas barradas a coordenadas no barradas. Para hallar , tomamos el "gradiente no barrado", es decir, la derivada parcial con respecto a : ${\displaystyle {\bar {J}}}$ ${\displaystyle {\bar {J}}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

${\displaystyle {\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))}$

Vector de gradiente

El cálculo tensorial proporciona una generalización de la fórmula del vector de gradiente del cálculo estándar que funciona en todos los sistemas de coordenadas:

${\displaystyle \nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}}$

Dónde:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}}$

En cambio, en el cálculo estándar, la fórmula del vector de gradiente depende del sistema de coordenadas que se utilice (por ejemplo, fórmula del vector de gradiente cartesiano frente a fórmula del vector de gradiente polar frente a fórmula del vector de gradiente esférico, etc.). En el cálculo estándar, cada sistema de coordenadas tiene su propia fórmula específica, a diferencia del cálculo tensorial, que solo tiene una fórmula de gradiente que es equivalente para todos los sistemas de coordenadas. Esto es posible gracias a la comprensión del tensor métrico que utiliza el cálculo tensorial.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Análisis vectorial
• Cálculo matricial
• Cálculo de Ricci
• Coordenadas curvilíneas
  • Tensores en coordenadas curvilíneas
• Aprendizaje de subespacios multilineales
• Álgebra multilineal
• Geometría diferencial

Referencias

1. Ricci, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (marzo de 1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps" [Métodos del cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones]. Mathematische Annalen (en francés). 54 (1–2). Saltador: 125–201. doi :10.1007/BF01454201. S2CID  120009332.
2. "Entrevista con Shiing Shen Chern" (PDF) . Avisos de la AMS . 45 (7): 860–5. Agosto de 1998.

Lectura adicional

• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis tensorial y funciones tensoriales no lineales. Springer. ISBN 1-4020-1015-X.
• Sokolnikoff, Ivan S (1951). Análisis tensorial: teoría y aplicaciones a la geometría y mecánica de los continuos . Wiley. ISBN 0471810525.
• Borisenko, AI; Tarapov, IE (1979). Análisis vectorial y tensorial con aplicaciones (2.ª ed.). Dover. ISBN 0486638332.
• Itskov, Mikhail (2015). Álgebra tensorial y análisis tensorial para ingenieros: con aplicaciones a la mecánica de medios continuos (2.ª ed.). Springer. ISBN 9783319163420.
• Tyldesley, JR (1973). Introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
• Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 0-07-033484-6.
• Grinfeld, P. (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies móviles . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

Enlaces externos

• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991-2010). "Introducción al cálculo tensorial" (PDF) . Consultado el 17 de mayo de 2018 .