Derivado material

En mecánica de medios continuos , la derivada material ^[1]^[2] describe la tasa temporal de cambio de alguna cantidad física (como el calor o el momento ) de un elemento material que está sujeto a un campo de velocidad macroscópico dependiente del espacio y del tiempo . La derivada material puede servir como vínculo entre las descripciones eulerianas y lagrangianas de la deformación del medio continuo . ^[3]

Por ejemplo, en dinámica de fluidos , el campo de velocidad es la velocidad del flujo y la cantidad de interés podría ser la temperatura del fluido. En ese caso, la derivada del material describe el cambio de temperatura de una determinada parcela de fluido con el tiempo, a medida que fluye a lo largo de su trayectoria .

Otros nombres

Existen muchos otros nombres para el derivado material, entre ellos:

derivada advectiva ^[4]
derivada convectiva ^[5]
derivada siguiendo el movimiento ^[1]
derivada hidrodinámica ^[1]
Derivada lagrangiana ^[6]
derivado de partícula ^[7]
derivado sustancial ^[1]
derivado sustantivo ^[8]
Derivada de Stokes ^[8]
derivada total , ^[1]^[9] aunque la derivada material es en realidad un caso especial de la derivada total ^[9]

Definición

La derivada material se define para cualquier campo tensorial y que sea macroscópico , en el sentido de que depende solo de las coordenadas de posición y tiempo, $y = y (x, t)$ : donde $\nabla$ $y$ es la derivada covariante del tensor, y $u$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ es la velocidad del flujo . Generalmente la derivada convectiva del campo $u$ $\cdot\nabla$ $y$ , la que contiene la derivada covariante del campo, puede interpretarse tanto como involucrando la derivada tensorial de línea de corriente del campo $u$ $\cdot(\nabla$ $y$ $)$ , o como involucrando la derivada direccional de línea de corriente del campo $($ $u$ $\cdot\nabla)$ $y$ , conduciendo al mismo resultado. ^[10] Solo este término espacial que contiene la velocidad del flujo describe el transporte del campo en el flujo, mientras que el otro describe la variación intrínseca del campo, independientemente de la presencia de cualquier flujo. De manera confusa, a veces se utiliza el nombre "derivada convectiva" para toda la derivada material $D$ $/$ $Dt$ , en lugar de solo para el término espacial $u$ $\cdot\nabla$ . ^[2] El efecto de los términos independientes del tiempo en las definiciones es para el caso escalar y tensorial, conocidos respectivamente como advección y convección. ${\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y ,$

Campos escalares y vectoriales

Por ejemplo, para un campo escalar macroscópico $φ (x, t)$ y un campo vectorial macroscópico $A (x, t)$ la definición se convierte en: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\ mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \ mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A}.\end{aligned}}$

En el caso escalar, $\nabla φ$ es simplemente el gradiente de un escalar, mientras que $\nabla A$ es la derivada covariante del vector macroscópico (que también puede considerarse como la matriz jacobiana de $A$ en función de $x$ ). En particular, para un campo escalar en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional $(x 1, x 2, x 3)$ , los componentes de la velocidad $u$ son $u 1, u 2, u 3$ , y el término convectivo es entonces: $\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.$

Desarrollo

Consideremos una cantidad escalar $φ = φ (x, t)$ , donde $t$ es el tiempo y $x$ es la posición. Aquí $φ$ puede ser alguna variable física como la temperatura o la concentración química. La cantidad física, cuya cantidad escalar es $φ$ , existe en un continuo, y cuya velocidad macroscópica está representada por el campo vectorial $u (x, t)$ .

La derivada (total) con respecto al tiempo de $φ$ se expande utilizando la regla de la cadena multivariada : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+ {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .$

Es evidente que esta derivada depende del vector que describe una trayectoria elegida $x$ $($ $t$ $)$ en el espacio. Por ejemplo, si se elige , la derivada temporal se vuelve igual a la derivada temporal parcial, lo que concuerda con la definición de una derivada parcial : una derivada tomada con respecto a alguna variable (tiempo en este caso) manteniendo constantes otras variables (espacio en este caso). Esto tiene sentido porque si , entonces la derivada se toma en alguna posición constante . Esta derivada de posición estática se llama derivada euleriana. ${\dot {\mathbf {x}}}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x}}{\mathrm {d}t}},$ ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ ${\dot {\mathbf {x} }}=0$

Un ejemplo de este caso es el de un nadador que se queda quieto y percibe un cambio de temperatura en un lago a primera hora de la mañana: el agua se va calentando gradualmente debido al calentamiento del sol. En este caso, el término es suficiente para describir la velocidad del cambio de temperatura. ${\partial \varphi }/{\partial t}$

Si el sol no calienta el agua (es decir, ), pero la trayectoria $x$ $($ $t$ $)$ no es una parada, la derivada temporal de $φ$ puede cambiar debido a la trayectoria. Por ejemplo, imagine que el nadador está en una piscina de agua inmóvil, en el interior y sin la influencia del sol. Un extremo está a una temperatura alta constante y el otro extremo a una temperatura baja constante. Al nadar de un extremo al otro, el nadador siente un cambio de temperatura con respecto al tiempo, aunque la temperatura en cualquier punto dado (estático) sea constante. Esto se debe a que la derivada se toma en la ubicación cambiante del nadador y el segundo término de la derecha es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. Un sensor de temperatura conectado al nadador mostraría que la temperatura varía con el tiempo, simplemente debido a la variación de temperatura de un extremo de la piscina al otro. ${\partial \varphi }/{\partial t}=0$ ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$

La derivada del material finalmente se obtiene cuando se elige que la trayectoria $x (t)$ tenga una velocidad igual a la velocidad del fluido . ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .$

Es decir, la trayectoria sigue la corriente de fluido descrita por el campo de velocidad del fluido $u$ . Por lo tanto, la derivada material del escalar $φ$ es ${\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .$

Un ejemplo de este caso es una partícula ligera y de flotabilidad neutra que se desplaza por el curso de un río y que experimenta cambios de temperatura a medida que lo hace. La temperatura del agua localmente puede estar aumentando debido a que una parte del río está soleada y la otra a la sombra, o el agua en su conjunto puede estar calentándose a medida que avanza el día. Los cambios debidos al movimiento de la partícula (causado a su vez por el movimiento del fluido) se denominan advección (o convección si se transporta un vector).

La definición anterior se basaba en la naturaleza física de una corriente de fluido; sin embargo, no se invocaban leyes de la física (por ejemplo, se suponía que una partícula liviana en un río seguiría la velocidad del agua), pero resulta que muchos conceptos físicos se pueden describir de manera concisa utilizando la derivada material. El caso general de la advección, sin embargo, se basa en la conservación de la masa de la corriente de fluido; la situación se vuelve ligeramente diferente si la advección ocurre en un medio no conservativo.

Solo se consideró una trayectoria para el escalar anterior. Para un vector, el gradiente se convierte en una derivada tensorial ; para los campos tensoriales , es posible que queramos tener en cuenta no solo la traslación del sistema de coordenadas debido al movimiento del fluido, sino también su rotación y estiramiento. Esto se logra mediante la derivada temporal convectiva superior .

Coordenadas ortogonales

Se puede demostrar que, en coordenadas ortogonales , el componente $j$ -ésimo del término de convección de la derivada material de un campo vectorial está dado por ^[11] $\mathbf {A}$ $[\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),$

donde los $h i$ están relacionados con los tensores métricos por $h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.$

En el caso especial de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales ( x , y , z ), y siendo $A$ un 1-tensor (un vector con tres componentes), esto es simplemente: $(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u}$

donde es una matriz jacobiana . ${\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}$

Véase también

Referencias

^ abcde Bird, RB; Stewart, WE; Lightfoot, EN (2007). Fenómenos de transporte (segunda edición revisada). John Wiley & Sons. pág. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.
^ ab Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. págs. 72-73. ISBN 0-521-66396-2.
^ Trenberth, KE (1993). Modelado de sistemas climáticos . Cambridge University Press. pág. 99. ISBN 0-521-43231-6.
^ Majda, A. (2003). Introducción a las EDP y las ondas para la atmósfera y el océano . Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 9. American Mathematical Society. pág. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
^ Ockendon, H. ; Ockendon, JR (2004). Ondas y flujo compresible . Springer. pág. 6. ISBN 0-387-40399-X.
^ Mellor, GL (1996). Introducción a la oceanografía física . Springer. pág. 19. ISBN. 1-56396-210-1.
^ Stoker, JJ (1992). Ondas de agua: la teoría matemática con aplicaciones . Wiley. pág. 5. ISBN 0-471-57034-6.
^ ab Granger, RA (1995). Mecánica de fluidos . Courier Dover Publications. pág. 30. ISBN 0-486-68356-7.
^ ab Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos . Curso de física teórica. Vol. 6 (2.ª ed.). Butterworth-Heinemann. págs. 3–4 y 227. ISBN 0-7506-2767-0.
^ Emanuel, G. (2001). Dinámica analítica de fluidos (segunda edición). CRC Press. pp. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
^ Eric W. Weisstein . "Operador convectivo". MathWorld . Consultado el 22 de julio de 2008 .

Lectura adicional

Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K (2008). Mecánica de fluidos (4.ª ed.). Academic Press . ISBN 978-0-12-373735-9.
Lai, Michael; Krempl, Erhard; Ruben, David (2010). Introducción a la mecánica del medio continuo (4.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-8560-3.