En matemáticas, la integrabilidad es una propiedad de ciertos sistemas dinámicos . Si bien existen varias definiciones formales distintas, informalmente hablando, un sistema integrable es un sistema dinámico con suficientes cantidades conservadas , o primeras integrales , que su movimiento se limita a una subvariedad de dimensionalidad mucho más pequeña que la de su espacio de fase .
A menudo se hace referencia a tres características que caracterizan a los sistemas integrables: [1]
Los sistemas integrables pueden verse como muy diferentes en carácter cualitativo de los sistemas dinámicos más genéricos , que son más típicamente sistemas caóticos . Estos últimos generalmente no tienen cantidades conservadas y son asintóticamente intratables, ya que una perturbación arbitrariamente pequeña en las condiciones iniciales puede conducir a desviaciones arbitrariamente grandes en sus trayectorias durante un tiempo suficientemente largo.
Muchos sistemas estudiados en física son completamente integrables, en particular, en el sentido hamiltoniano , siendo el ejemplo clave los osciladores armónicos multidimensionales. Otro ejemplo estándar es el movimiento planetario alrededor de uno o dos centros fijos (por ejemplo, el Sol). Otros ejemplos elementales incluyen el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa (la cima de Euler ) y el movimiento de un cuerpo rígido axialmente simétrico alrededor de un punto en su eje de simetría (la cima de Lagrange ).
A finales de la década de 1960, se comprendió que en física existen sistemas completamente integrables que tienen un número infinito de grados de libertad, como algunos modelos de ondas en aguas poco profundas ( ecuación de Korteweg-de Vries ), el efecto Kerr en fibras ópticas, descrito por la ecuación no lineal de Schrödinger , y ciertos sistemas integrables de muchos cuerpos, como la red de Toda . La teoría moderna de los sistemas integrables revivió con el descubrimiento numérico de los solitones por Martin Kruskal y Norman Zabusky en 1965, lo que condujo al método de transformada de dispersión inversa en 1967.
En el caso especial de los sistemas hamiltonianos, si hay suficientes primeras integrales de conmutación de Poisson independientes para que los parámetros de flujo puedan servir como un sistema de coordenadas en los conjuntos de niveles invariantes (las hojas de la foliación lagrangiana ), y si los flujos son completos y el conjunto de niveles de energía es compacto, esto implica el teorema de Liouville-Arnold ; es decir, la existencia de variables de ángulo de acción . Los sistemas dinámicos generales no tienen tales cantidades conservadas; en el caso de los sistemas hamiltonianos autónomos , la energía es generalmente la única y, en los conjuntos de niveles de energía, los flujos suelen ser caóticos.
Un ingrediente clave en la caracterización de sistemas integrables es el teorema de Frobenius , que establece que un sistema es integrable según Frobenius (es decir, se genera mediante una distribución integrable) si, localmente, tiene una foliación por variedades integrales máximas. Pero la integrabilidad, en el sentido de sistemas dinámicos , es una propiedad global, no local, ya que requiere que la foliación sea regular, con las hojas incrustadas en subvariedades.
La integrabilidad no implica necesariamente que las soluciones genéricas puedan expresarse explícitamente en términos de algún conjunto conocido de funciones especiales ; es una propiedad intrínseca de la geometría y topología del sistema, y de la naturaleza de la dinámica.
En el contexto de los sistemas dinámicos diferenciables , la noción de integrabilidad se refiere a la existencia de foliaciones regulares e invariantes ; es decir, aquellas cuyas hojas son subvariedades incrustadas de la dimensión más pequeña posible que son invariantes bajo el flujo . Existe así una noción variable del grado de integrabilidad, dependiendo de la dimensión de las hojas de la foliación invariante. Este concepto tiene un refinamiento en el caso de los sistemas hamiltonianos , conocido como integrabilidad completa en el sentido de Liouville (ver más abajo), que es a lo que más frecuentemente se hace referencia en este contexto.
Una extensión de la noción de integrabilidad también es aplicable a sistemas discretos como las celosías. Esta definición se puede adaptar para describir ecuaciones de evolución que son sistemas de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias finitas .
La distinción entre sistemas dinámicos integrables y no integrables tiene la implicación cualitativa de movimiento regular versus movimiento caótico y, por lo tanto, es una propiedad intrínseca, no solo una cuestión de si un sistema puede integrarse explícitamente en una forma exacta.
En el contexto especial de los sistemas hamiltonianos , tenemos la noción de integrabilidad en el sentido de Liouville . (Ver el teorema de Liouville-Arnold .) La integrabilidad de Liouville significa que existe una foliación regular del espacio de fase por variedades invariantes de modo que los campos vectoriales hamiltonianos asociados con las invariantes de la foliación abarcan la distribución tangente. Otra forma de decir esto es que existe un conjunto máximo de invariantes de conmutación de Poisson funcionalmente independientes (es decir, funciones independientes en el espacio de fases cuyos paréntesis de Poisson con el hamiltoniano del sistema, y entre sí, desaparecen).
En dimensiones finitas, si el espacio de fases es simpléctico (es decir, el centro del álgebra de Poisson consta sólo de constantes), debe tener una dimensión par y el número máximo de invariantes de conmutación de Poisson independientes (incluido el propio hamiltoniano) es . Las hojas de la foliación son totalmente isotrópicas respecto a la forma simpléctica y tal foliación isotrópica máxima se denomina lagrangiana . Todos los sistemas hamiltonianos autónomos (es decir, aquellos para los cuales los corchetes hamiltonianos y de Poisson no dependen explícitamente del tiempo) tienen al menos una invariante; es decir, el propio hamiltoniano, cuyo valor a lo largo del flujo es la energía. Si los conjuntos de niveles de energía son compactos, las hojas de la foliación lagrangiana son toros, y las coordenadas lineales naturales de estas se denominan variables de "ángulo". Los ciclos de la forma canónica se denominan variables de acción, y las coordenadas canónicas resultantes se denominan variables de ángulo de acción (ver más abajo).
También existe una distinción entre integrabilidad completa , en el sentido de Liouville , e integrabilidad parcial, así como una noción de superintegrabilidad y superintegrabilidad máxima. Básicamente, estas distinciones corresponden a las dimensiones de las hojas de la foliación. Cuando el número de invariantes de conmutación de Poisson independientes es menor que el máximo (pero, en el caso de sistemas autónomos, más de uno), decimos que el sistema es parcialmente integrable. Cuando existen más invariantes funcionalmente independientes, más allá del número máximo que puede conmutar Poisson, y por lo tanto la dimensión de las hojas de la foliación invariante es menor que n, decimos que el sistema es superintegrable . Si hay una foliación regular con hojas unidimensionales (curvas), se llama máximamente superintegrable.
Cuando un sistema hamiltoniano de dimensión finita es completamente integrable en el sentido de Liouville y los conjuntos de niveles de energía son compactos, los flujos son completos y las hojas de la foliación invariante son tori . Entonces existen, como se mencionó anteriormente, conjuntos especiales de coordenadas canónicas en el espacio de fase conocidos como variables de ángulo de acción , de modo que los toros invariantes son los conjuntos de niveles conjuntos de las variables de acción . Por tanto, estos proporcionan un conjunto completo de invariantes del flujo hamiltoniano (constantes de movimiento), y las variables de los ángulos son las coordenadas periódicas naturales de los toros. El movimiento sobre los toros invariantes, expresado en términos de estas coordenadas canónicas, es lineal en las variables angulares.
En la teoría de la transformación canónica , existe el método de Hamilton-Jacobi , en el que se buscan soluciones a las ecuaciones de Hamilton encontrando primero una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada . En terminología clásica, esto se describe como determinar una transformación a un conjunto canónico de coordenadas que consta de variables completamente ignorables; es decir, aquellos en los que el hamiltoniano no depende de un conjunto completo de coordenadas de "posición" canónicas y, por tanto, los momentos canónicamente conjugados correspondientes son todos cantidades conservadas. En el caso de conjuntos de niveles de energía compactos, este es el primer paso para determinar las variables del ángulo de acción . En la teoría general de ecuaciones diferenciales parciales del tipo Hamilton-Jacobi , existe una solución completa (es decir, una que depende de n constantes independientes de integración, donde n es la dimensión del espacio de configuración), en casos muy generales, pero sólo en los sentido local. Por lo tanto, la existencia de una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi no es de ninguna manera una caracterización de integrabilidad completa en el sentido de Liouville. La mayoría de los casos que pueden "integrarse explícitamente" implican una separación completa de variables , en la que las constantes de separación proporcionan el conjunto completo de constantes de integración que se requieren. Sólo cuando estas constantes puedan reinterpretarse, dentro del espacio de fase completo, como los valores de un conjunto completo de funciones de conmutación de Poisson restringidas a las hojas de una foliación lagrangiana, podrá considerarse el sistema como completamente integrable en el sentido de Liouville.
Un resurgimiento del interés en los sistemas integrables clásicos se produjo con el descubrimiento, a finales de la década de 1960, de que los solitones , que son soluciones localizadas fuertemente estables de ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Korteweg-de Vries (que describe la dinámica de fluidos unidimensional no disipativa). en cuencas poco profundas), podría entenderse considerando estas ecuaciones como sistemas hamiltonianos integrables de dimensión infinita. Su estudio conduce a un enfoque muy fructífero para "integrar" tales sistemas, la transformada de dispersión inversa y métodos espectrales inversos más generales (a menudo reducibles a problemas de Riemann-Hilbert ), que generalizan métodos lineales locales como el análisis de Fourier a la linealización no local, a través de la solución. de ecuaciones integrales asociadas.
La idea básica de este método es introducir un operador lineal que está determinado por la posición en el espacio de fase y que evoluciona bajo la dinámica del sistema en cuestión de tal manera que su "espectro" (en un sentido adecuadamente generalizado) sea invariante. bajo la evolución, cf. Par laxo . Esto proporciona, en ciertos casos, suficientes invariantes o "integrales de movimiento" para hacer que el sistema sea completamente integrable. En el caso de sistemas que tienen un número infinito de grados de libertad, como la ecuación KdV, esto no es suficiente para precisar la propiedad de integrabilidad de Liouville. Sin embargo, para condiciones de contorno adecuadamente definidas, la transformada espectral puede, de hecho, interpretarse como una transformación a coordenadas completamente ignorables , en las que las cantidades conservadas forman la mitad de un conjunto doblemente infinito de coordenadas canónicas, y el flujo se linealiza en ellas. En algunos casos, esto puede incluso verse como una transformación a variables de ángulo de acción, aunque normalmente sólo un número finito de variables de "posición" son en realidad coordenadas de ángulo y el resto no son compactas.
Otro punto de vista que surgió en la teoría moderna de los sistemas integrables se originó en un enfoque de cálculo iniciado por Ryogo Hirota , [2] que implicaba reemplazar el sistema dinámico no lineal original con un sistema bilineal de ecuaciones de coeficientes constantes para una cantidad auxiliar, que más tarde llegó a ser conocida como función τ . Ahora se las conoce como ecuaciones de Hirota . Aunque originalmente apareció simplemente como un dispositivo de cálculo, sin ninguna relación clara con el enfoque de dispersión inversa o la estructura hamiltoniana, esto proporcionó un método muy directo del cual se podían derivar clases importantes de soluciones como los solitones .
Posteriormente, esto fue interpretado por Mikio Sato [3] y sus estudiantes, [4] [5] al principio para el caso de jerarquías integrables de PDE, como la jerarquía Kadomtsev-Petviashvili , pero luego para clases mucho más generales de jerarquías integrables. , como una especie de enfoque de espacio de fase universal , en el que, típicamente, la dinámica de conmutación se consideraba simplemente determinada por una acción de grupo abeliano fija (finita o infinita) sobre una variedad de Grassmann (finita o infinita) . La función τ se consideraba el determinante de un operador de proyección desde elementos de la órbita del grupo hasta algún origen dentro del Grassmanniano, y las ecuaciones de Hirota expresaban las relaciones de Plücker , que caracterizan la incrustación de Plücker del Grassmanniano en la proyectivización de un adecuadamente definido. Espacio exterior (infinito) , visto como un espacio fermiónico de Fock .
También existe la noción de sistemas cuánticos integrables.
En el entorno cuántico, las funciones en el espacio de fases deben ser reemplazadas por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert , y la noción de funciones de conmutación de Poisson debe ser reemplazada por operadores de conmutación. La noción de leyes de conservación debe especializarse en las leyes de conservación locales . [6] Cada hamiltoniano tiene un conjunto infinito de cantidades conservadas dadas por proyectores a sus estados propios de energía . Sin embargo, esto no implica ninguna estructura dinámica especial.
Para explicar la integrabilidad cuántica, es útil considerar la configuración de las partículas libres. Aquí todas las dinámicas son reducibles en un solo cuerpo. Se dice que un sistema cuántico es integrable si la dinámica es reducible en dos cuerpos. La ecuación de Yang-Baxter es una consecuencia de esta reducibilidad y conduce a trazas de identidades que proporcionan un conjunto infinito de cantidades conservadas. Todas estas ideas se incorporan al método de dispersión cuántica inversa , donde el algebraico Bethe ansatz se puede utilizar para obtener soluciones explícitas. Ejemplos de modelos cuánticos integrables son el modelo de Lieb-Liniger , el modelo de Hubbard y varias variaciones del modelo de Heisenberg . [7] Algunos otros tipos de integrabilidad cuántica se conocen en problemas cuánticos explícitamente dependientes del tiempo, como el modelo impulsado de Tavis-Cummings. [8]
En física, los sistemas completamente integrables, especialmente en el entorno de dimensiones infinitas, a menudo se denominan modelos exactamente resolubles. Esto oscurece la distinción entre integrabilidad, en el sentido hamiltoniano, y el sentido más general de sistemas dinámicos.
También existen modelos exactamente solucionables en mecánica estadística, que están más estrechamente relacionados con los sistemas cuánticos integrables que con los clásicos. Dos métodos estrechamente relacionados: el enfoque de Bethe ansatz , en su sentido moderno, basado en las ecuaciones de Yang-Baxter y el método de dispersión inversa cuántica , proporcionan análogos cuánticos de los métodos espectrales inversos. Estos son igualmente importantes en el estudio de modelos solubles en mecánica estadística.
A veces también se utiliza una noción imprecisa de "solubilidad exacta" que significa: "Las soluciones pueden expresarse explícitamente en términos de algunas funciones previamente conocidas", como si fuera una propiedad intrínseca del sistema en sí, en lugar de una característica puramente calculable que resulta que tenemos algunas funciones "conocidas" disponibles, en términos de las cuales se pueden expresar las soluciones. Esta noción no tiene significado intrínseco, ya que lo que se entiende por funciones "conocidas" muy a menudo se define precisamente por el hecho de que satisfacen ciertas ecuaciones dadas, y la lista de tales "funciones conocidas" crece constantemente. Aunque tal caracterización de "integrabilidad" no tiene validez intrínseca, a menudo implica el tipo de regularidad que cabe esperar en sistemas integrables. [ cita necesaria ]
