Invariante de homotopía de mapas entre n-esferas
En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertos mapas entre n -esferas .
Motivación
En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf.
![{\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y demostró que es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos ![{\displaystyle\eta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es igual a 1, para cualquier .![{\displaystyle x\neq y\in S^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Más tarde se demostró que el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito generado por . En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racional [1]![{\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\eta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para una esfera de dimensiones impares ( impar) son cero a menos que sea igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión par ( n par), hay un bit más de homotopía cíclica infinita en grado .![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2n-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Sea un mapa continuo (supongamos ). Entonces podemos formar el complejo celular.![{\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde hay un disco dimensional adjunto a través de ? Los grupos de cadenas celulares simplemente se generan libremente en las células en grado , por lo que están en grado 0 y cero en el resto. La (co)homología celular es la (co)homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de frontera deben ser cero (recuerde que ), la cohomología es![{\displaystyle D^{2n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{\mathrm {celda} }^{*}(C_{\varphi })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{\mathrm {celda} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{casos}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{de lo contrario }}.\end{casos}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Denotemos los generadores de los grupos de cohomología por
y![{\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por razones dimensionales, todos los productos de taza entre esas clases deben ser triviales, excepto . Así, como anillo , la cohomología es![{\displaystyle \alpha \smile \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \ sonrisa \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El número entero es el invariante de Hopf del mapa .![{\displaystyle h(\varphi)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Teorema : El mapa es un homomorfismo. Si es impar, es trivial (ya que es torsión). Si es par, la imagen de contiene . Además, la imagen del producto de Whitehead de los mapas de identidad es igual a 2, es decir , donde está el mapa de identidad y es el producto de Whitehead .![{\displaystyle h\dos puntos \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle h ([i_ {n}, i_ {n}]) = 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{n}\dos puntos S^{n}\to S^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El invariante de Hopf es para los mapas de Hopf , donde , correspondientes a las álgebras de división real , respectivamente, y a la fibración que envía una dirección en la esfera al subespacio que abarca. Es un teorema, demostrado primero por Frank Adams , y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de teoría K topológica , que estos son los únicos mapas con invariante 1 de Hopf.![{\displaystyle 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=1,2,4,8}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R},\mathbb {C},\mathbb {H},\mathbb {O}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fórmula integral de Whitehead
JHC Whitehead ha propuesto la siguiente fórmula integral para el invariante de Hopf. [2] [3] : prop. 17.22
Dado un mapa , se considera una forma de volumen tal que . Desde entonces , el retroceso es una forma diferencial cerrada : . Según el lema de Poincaré, es una forma diferencial exacta : existe una forma - tal que . El invariante de Hopf viene dado entonces por
![{\displaystyle \omega _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi ^{*}\omega _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _ {n})=\varphi ^{*}(d\omega _ {n})=\varphi ^{*}0=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (n-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\eta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{2n-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalizaciones para mapas estables.
Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere una cierta cantidad de base teórica de homotopía:
Denotemos un espacio vectorial y su compactación en un punto , es decir, y ![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para algunos .![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si es cualquier espacio puntiagudo (como está implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de , entonces podemos formar los productos de cuña ![{\displaystyle (X,x_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{\infty }\cuña X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora deja
![{\displaystyle F\dos puntos V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ser un mapa estable, es decir, estable bajo el funtor de suspensión reducido . El invariante geométrico (estable) de Hopf de es![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
un elemento del grupo de mapas de homotopía estable-equivariante desde hasta . Aquí "estable" significa "estable bajo suspensión", es decir, el límite directo sobre (o , si se quiere) de los grupos de homotopía equivariantes ordinarios; y la acción es la acción trivial y la inversión de los dos factores . si dejamos ![{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\cuña Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\cuña Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta _ {X}\dos puntos X\a X\cuña X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
denotamos el mapa diagonal canónico y la identidad, entonces el invariante de Hopf se define por lo siguiente:![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle h (F): = (F \ cuña F) (I \ cuña \ Delta _ {X}) - (I \ cuña \ Delta _ {Y}) (I \ cuña F).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este mapa es inicialmente un mapa de
a![{\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
pero bajo el límite directo se convierte en el elemento anunciado del grupo de mapas homotópico-equivariante estable. También existe una versión inestable del invariante de Hopf , para la cual se debe realizar un seguimiento del espacio vectorial .![{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle h_ {V} (F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Serre, Jean-Pierre (septiembre de 1953). "Groupes D'Homotopie Et Classes De Groupes Abeliens". Los Anales de las Matemáticas . 58 (2): 258–294. doi :10.2307/1969789. JSTOR 1969789.
- ^ Whitehead, JHC (1 de mayo de 1947). "Una expresión de la invariante de Hopf como integral". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 33 (5): 117-123. Código bibliográfico : 1947PNAS...33..117W. doi : 10.1073/pnas.33.5.117 . PMC 1079004 . PMID 16578254.
- ^ Bott, Raoul; Tu, Loring W (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York. ISBN 9780387906133.
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: CS1 maint: location missing publisher (link)
- Adams, J. Frank (1960), "Sobre la inexistencia de elementos del invariante de Hopf", Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/1970147, JSTOR 1970147, señor 0141119
- Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi :10.1093/qmath/17.1.31, SEÑOR 0198460
- Crabb, Michael; Ranicki, Andrés (2006). "La invariante geométrica de Hopf" (PDF) .
- Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi :10.1007/BF01457962, ISSN 0025-5831
- Shokurov, AV (2001) [1994], "Invariante de Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press