Suspensión (topología)

Suspensión de un círculo . El espacio original está en azul y los puntos finales colapsados ​​están en verde.

En topología , una rama de las matemáticas , la suspensión de un espacio topológico X se obtiene intuitivamente estirando X hasta formar un cilindro y luego colapsando ambas caras de los extremos hasta formar puntos. Se considera que X está "suspendido" entre estos puntos finales. La suspensión de X se denota por SX ^[1] o susp( X ) . ^{[2] : 76}

Existe una variación de la suspensión para el espacio puntiagudo , que se llama suspensión reducida y se denota por Σ X . La suspensión "habitual" SX a veces se llama suspensión no reducida , suspensión sin base o suspensión libre de X , para distinguirla de Σ X.

Suspensión libre

La suspensión (libre) de un espacio topológico se puede definir de varias maneras. ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$

1. es el espacio cociente En otras palabras, se puede construir de la siguiente manera: ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \{0\}){\big /}(X\times \{1\}).}$

• Construye el cilindro . ${\displaystyle X\times [0,1]}$
• Considere todo el conjunto como un único punto ("pegue" todos sus puntos juntos). ${\displaystyle X\times \{0\}}$
• Considere todo el conjunto como un único punto ("pegue" todos sus puntos juntos). ${\displaystyle X\times \{1\}}$

2. Otra forma de escribir esto es:

${\displaystyle SX:=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},}$

Donde son dos puntos , y para cada i en {0,1}, es la proyección al punto (una función que asigna todo a ). Esto significa que la suspensión es el resultado de construir el cilindro , y luego unirlo por sus caras, y , a los puntos a lo largo de las proyecciones . ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X\times \{1\}}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}}$

3. Se puede ver como dos conos en X, pegados entre sí en su base. ${\displaystyle SX}$

4. también se puede definir como la unión donde es un espacio discreto con dos puntos. ^{[2] : 76} ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\star S^{0},}$ ${\displaystyle S^{0}}$

5. En la teoría de tipos de homotopía , se define como un tipo inductivo superior generado por ${\displaystyle SX}$

S: ${\displaystyle SX}$

NORTE: ${\displaystyle SX}$

${\displaystyle Merid:{\bigl (}X{\bigr )}\to (N=S)}$^[3]

Propiedades

En términos generales, S aumenta la dimensión de un espacio en uno: por ejemplo, convierte una n - esfera en una ( n + 1)-esfera para n ≥ 0.

Dado un mapa continuo existe un mapa continuo definido por donde los corchetes denotan clases de equivalencia . Esto lo convierte en un funtor de la categoría de espacios topológicos a sí mismo. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y,}$ ${\displaystyle Sf:SX\rightarrow SY}$ ${\displaystyle Sf([x,t]):=[f(x),t],}$ ${\displaystyle S}$

Suspensión reducida

Si X es un espacio apuntado con punto base x ₀ , existe una variante de la suspensión que a veces resulta más útil. La suspensión reducida o suspensión base Σ X de X es el espacio cociente:

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)}$.

Esto es equivalente a tomar SX y colapsar la línea ( x ₀ × I  ) que une los dos extremos en un único punto. El punto base del espacio puntiagudo Σ X se toma como la clase de equivalencia de ( x ₀ , 0).

Se puede demostrar que la suspensión reducida de X es homeomorfa al producto de choque de X con el círculo unitario S ¹ .

${\displaystyle \Sigma X\cong S^{1}\wedge X}$

Para espacios con buen comportamiento , como los complejos CW , la suspensión reducida de X es homotópicamente equivalente a la suspensión no basada.

Adjunción de funtores de suspensión reducida y espacio de bucle

Σ da lugar a un funtor de la categoría de espacios apuntados a sí mismo. Una propiedad importante de este funtor es que es adjunto por la izquierda del funtor que toma un espacio apuntado a su espacio de bucles . En otras palabras, tenemos un isomorfismo natural ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname {Maps} _{*}\left(X,\Omega Y\right)}$

donde y son espacios apuntados y representa aplicaciones continuas que preservan los puntos base. Esta adjunción se puede entender geométricamente, de la siguiente manera: surge de si un círculo apuntado se adjunta a cada punto no base de , y los puntos base de todos estos círculos se identifican y se pegan al punto base de . Ahora, para especificar una aplicación apuntada de a , necesitamos dar aplicaciones apuntadas de cada uno de estos círculos apuntados a . Es decir, necesitamos asociar a cada elemento de un bucle en (un elemento del espacio de bucles ), y el bucle trivial debe estar asociado al punto base de : esta es una aplicación apuntada de a . (Se necesita verificar la continuidad de todas las aplicaciones involucradas). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega Y}$

La adjunción es entonces similar a currar , llevando los mapas de productos cartesianos a su forma currada, y es un ejemplo de dualidad de Eckmann-Hilton .

Esta adjunción es un caso especial de la adjunción explicada en el artículo sobre productos Smash .

Aplicaciones

La suspensión reducida se puede utilizar para construir un homomorfismo de grupos de homotopía , al que se aplica el teorema de suspensión de Freudenthal . En la teoría de homotopía , los fenómenos que se conservan bajo suspensión, en un sentido adecuado, conforman la teoría de homotopía estable .

Ejemplos

Algunos ejemplos de suspensiones son: ^{[4] : 77, Ejercicio.1}

• La suspensión de una bola n es homeomorfa a la bola (n+1).

Desuspensión

La desuspensión es una operación parcialmente inversa a la suspensión. ^[5]

Véase también

• Teorema de doble suspensión
• Cono (topología)
• Unirse (topología)

Referencias

1. Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 págs. ISBN  0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0 
2. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler
3. "Tipo de suspensión en nLab". ncatlab.org . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
4. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
5. Wolcott, Luke. "Imaginando el espacio de dimensión negativa" (PDF) . forthelukeofmath.com . Consultado el 23 de junio de 2015 .

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