En geometría elíptica , dos líneas son paralelas de Clifford o paratácticas si la distancia perpendicular entre ellas es constante de punto a punto. El concepto fue estudiado por primera vez por William Kingdon Clifford en el espacio elíptico y aparece solo en espacios de al menos tres dimensiones. Dado que las líneas paralelas tienen la propiedad de equidistancia, el término "paralela" fue apropiado de la geometría euclidiana , aunque las "líneas" de la geometría elíptica son curvas geodésicas y, a diferencia de las líneas de la geometría euclidiana , son de longitud finita.
El álgebra de cuaterniones proporciona una geometría descriptiva del espacio elíptico en la que se hace explícito el paralelismo de Clifford.
Las líneas en 1 en el espacio elíptico se describen mediante versores con un eje fijo r : [1]
Para un punto arbitrario u en el espacio elíptico, dos paralelas de Clifford a esta línea pasan por u . La paralela de Clifford recta es
y el paralelo de Clifford izquierdo es
La definición original de Clifford era de líneas paralelas curvas, pero el concepto se generaliza a objetos paralelos de Clifford de más de una dimensión. [2] En el espacio euclidiano de 4 dimensiones, los objetos paralelos de Clifford de 1, 2, 3 o 4 dimensiones están relacionados por rotaciones isoclínicas . El paralelismo de Clifford y las rotaciones isoclínicas son aspectos estrechamente relacionados de las simetrías SO(4) que caracterizan a los 4-politopos regulares .
Al girar una línea sobre otra, a la que es paralela en el sentido de Clifford, se crea una superficie de Clifford.
Los paralelos de Clifford que pasan por puntos de la superficie se encuentran todos en la superficie. Por lo tanto, una superficie de Clifford es una superficie reglada, ya que cada punto se encuentra en dos líneas, cada una contenida en la superficie.
Dadas dos raíces cuadradas de menos uno en los cuaterniones , escritos r y s , la superficie de Clifford que los atraviesa está dada por [1] [3]
Los paralelos de Clifford fueron descritos por primera vez en 1873 por el matemático inglés William Kingdon Clifford . [4]
En 1900 Guido Fubini escribió su tesis doctoral sobre el paralelismo de Clifford en espacios elípticos . [5]
En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf . [6]
En 2016, Hans Havlicek demostró que existe una correspondencia biunívoca entre los paralelismos de Clifford y los planos externos a la cuádrica de Klein . [7]
