Invariante de homotopía de mapas entre n-esferas
En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertos mapas entre n -esferas .
Motivación
En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf.
y demostró que es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos
es igual a 1, para cualquier .
Más tarde se demostró que el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito generado por . En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racional [1]
para una esfera de dimensiones impares ( impar) son cero a menos que sea igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión par ( n par), hay un bit más de homotopía cíclica infinita en grado .
Definición
Sea un mapa continuo (supongamos ). Entonces podemos formar el complejo celular.
¿Dónde hay un disco dimensional adjunto a través de ? Los grupos de cadenas celulares simplemente se generan libremente en las células en grado , por lo que están en grado 0 y cero en el resto. La (co)homología celular es la (co)homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de frontera deben ser cero (recuerde que ), la cohomología es
Denotemos los generadores de los grupos de cohomología por
- y
Por razones dimensionales, todos los productos de taza entre esas clases deben ser triviales, excepto . Así, como anillo , la cohomología es
El número entero es el invariante de Hopf del mapa .
Propiedades
Teorema : El mapa es un homomorfismo. Si es impar, es trivial (ya que es torsión). Si es par, la imagen de contiene . Además, la imagen del producto de Whitehead de los mapas de identidad es igual a 2, es decir , donde está el mapa de identidad y es el producto de Whitehead .
El invariante de Hopf es para los mapas de Hopf , donde , correspondientes a las álgebras de división real , respectivamente, y a la fibración que envía una dirección en la esfera al subespacio que abarca. Es un teorema, demostrado primero por Frank Adams , y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de teoría K topológica , que estos son los únicos mapas con invariante 1 de Hopf.
Fórmula integral de Whitehead
JHC Whitehead ha propuesto la siguiente fórmula integral para el invariante de Hopf. [2] [3] : prop. 17.22
Dado un mapa , se considera una forma de volumen tal que . Desde entonces , el retroceso es una forma diferencial cerrada : . Según el lema de Poincaré, es una forma diferencial exacta : existe una forma - tal que . El invariante de Hopf viene dado entonces por
Generalizaciones para mapas estables.
Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere una cierta cantidad de base teórica de homotopía:
Denotemos un espacio vectorial y su compactación en un punto , es decir, y
- para algunos .
Si es cualquier espacio puntiagudo (como está implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de , entonces podemos formar los productos de cuña
Ahora deja
ser un mapa estable, es decir, estable bajo el funtor de suspensión reducido . El invariante geométrico (estable) de Hopf de es
un elemento del grupo de mapas de homotopía estable-equivariante desde hasta . Aquí "estable" significa "estable bajo suspensión", es decir, el límite directo sobre (o , si se quiere) de los grupos de homotopía equivariantes ordinarios; y la acción es la acción trivial y la inversión de los dos factores . si dejamos
denotamos el mapa diagonal canónico y la identidad, entonces el invariante de Hopf se define por lo siguiente:
Este mapa es inicialmente un mapa de
- a
pero bajo el límite directo se convierte en el elemento anunciado del grupo de mapas homotópico-equivariante estable. También existe una versión inestable del invariante de Hopf , para la cual se debe realizar un seguimiento del espacio vectorial .
Referencias
- ^ Serre, Jean-Pierre (septiembre de 1953). "Groupes D'Homotopie Et Classes De Groupes Abeliens". Los Anales de las Matemáticas . 58 (2): 258–294. doi :10.2307/1969789. JSTOR 1969789.
- ^ Whitehead, JHC (1 de mayo de 1947). "Una expresión de la invariante de Hopf como integral". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 33 (5): 117-123. Código bibliográfico : 1947PNAS...33..117W. doi : 10.1073/pnas.33.5.117 . PMC 1079004 . PMID 16578254.
- ^ Bott, Raoul; Tu, Loring W (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York. ISBN 9780387906133.
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- Adams, J. Frank (1960), "Sobre la inexistencia de elementos del invariante de Hopf", Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/1970147, JSTOR 1970147, señor 0141119
- Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi :10.1093/qmath/17.1.31, SEÑOR 0198460
- Crabb, Michael; Ranicki, Andrés (2006). "La invariante geométrica de Hopf" (PDF) .
- Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi :10.1007/BF01457962, ISSN 0025-5831
- Shokurov, AV (2001) [1994], "Invariante de Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press