En la teoría del orden , se dice que un conjunto parcialmente ordenado X satisface la condición de cadena contable , o que es ccc , si cada anticadena fuerte en X es contable .
En realidad, hay dos condiciones: la condición de cadena contable ascendente y descendente . Estas no son equivalentes. La condición de cadena contable significa la condición de cadena contable descendente; en otras palabras, no hay dos elementos que tengan un límite inferior común.
Esto se denomina "condición de cadena contable" en lugar del término más lógico "condición de anticadena contable" por razones históricas relacionadas con ciertas cadenas de conjuntos abiertos en espacios topológicos y cadenas en álgebras booleanas completas, donde las condiciones de cadena a veces resultan ser equivalentes a las condiciones de anticadena. Por ejemplo, si κ es un cardinal, entonces en un álgebra booleana completa cada anticadena tiene un tamaño menor que κ si y solo si no hay una secuencia κ descendente de elementos, por lo que las condiciones de cadena son equivalentes a las condiciones de anticadena.
En el enunciado del axioma de Martin se utilizan órdenes parciales y espacios que satisfacen la ccc .
En la teoría del forzamiento , se utilizan órdenes parciales ccc porque el forzamiento con cualquier conjunto genérico sobre dicho orden preserva los cardinales y las cofinalidades. Además, la propiedad ccc se preserva mediante iteraciones de soporte finito (véase forzamiento iterado ). Para obtener más información sobre ccc en el contexto del forzamiento, véase Forzamiento (teoría de conjuntos) § La condición de cadena contable .
En términos más generales, si κ es un cardinal, se dice que un conjunto parcial satisface la condición de cadena κ , también escrita como κ-cc, si cada anticadena tiene un tamaño menor que κ. La condición de cadena contable es la condición de cadena ℵ 1 .
Se dice que un espacio topológico satisface la condición de cadena contable, o condición de Suslin , si el conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos no vacíos de X satisface la condición de cadena contable, es decir, cada colección disjunta por pares de subconjuntos abiertos no vacíos de X es contable. El nombre se origina del problema de Suslin .
