Espacio hiperconectado

En el campo matemático de la topología , un espacio hiperconectado ^{[1] [2]} o espacio irreducible ^[2] es un espacio topológico X que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos cerrados propios (ya sean disjuntos o no disjuntos). El nombre de espacio irreducible es el preferido en geometría algebraica .

Para un espacio topológico X las siguientes condiciones son equivalentes:

• No hay dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disjuntos .
• X no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos propios cerrados .
• Todo conjunto abierto no vacío es denso en X.
• El interior de cada subconjunto propio cerrado de X está vacío.
• Cada subconjunto es denso o no es denso en ninguna parte en X.
• No pueden existir dos puntos separados por vecindades disjuntas.

Un espacio que satisface cualquiera de estas condiciones se denomina hiperconexo o irreducible . Debido a que la condición sobre las vecindades de puntos distintos es en cierto sentido opuesta a la propiedad de Hausdorff , algunos autores llaman a estos espacios anti-Hausdorff . ^[3]

El conjunto vacío es vacuamente un espacio hiperconexo o irreducible según la definición anterior (porque no contiene conjuntos abiertos no vacíos). Sin embargo, algunos autores, ^[4] especialmente aquellos interesados ​​en aplicaciones a la geometría algebraica , agregan una condición explícita de que un espacio irreducible debe ser no vacío.

Un conjunto irreducible es un subconjunto de un espacio topológico para el cual la topología del subespacio es irreducible.

Ejemplos

Dos ejemplos de espacios hiperconectados de la topología de conjuntos puntuales son la topología cofinita en cualquier conjunto infinito y la topología de orden recto en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En geometría algebraica, tomar el espectro de un anillo cuyo anillo reducido es un dominio integral es un espacio topológico irreducible (aplicando el teorema de red al nilradical , que está dentro de cada primo, para mostrar que el espectro de la función cociente es un homeomorfismo, esto se reduce a la irreducibilidad del espectro de un dominio integral). Por ejemplo, los esquemas

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$, ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)}$

son irreducibles ya que en ambos casos los polinomios que definen el ideal son polinomios irreducibles (es decir, no tienen factorización no trivial). Un ejemplo no trivial lo da el divisor de cruce normal

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

ya que el espacio subyacente es la unión de los planos afines , , y . Otro no ejemplo lo da el esquema ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

donde es un polinomio homogéneo irreducible de grado 4. Esta es la unión de las dos curvas de género 3 (por la fórmula de género-grado ) ${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

Hiperconectividad vs. conectividad

Todo espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado por trayectorias o conectado localmente por trayectorias ).

Obsérvese que en la definición de hiperconectividad, los conjuntos cerrados no tienen por qué ser disjuntos, a diferencia de la definición de conectividad, en la que los conjuntos abiertos son disjuntos.

Por ejemplo, el espacio de números reales con la topología estándar es conexo pero no hiperconexo, ya que no se puede escribir como una unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, pero sí como una unión de dos conjuntos cerrados (no disjuntos).

Propiedades

• Los subconjuntos abiertos no vacíos de un espacio hiperconectado son "grandes" en el sentido de que cada uno de ellos es denso en X y cualquier par de ellos se interseca. Por lo tanto, un espacio hiperconectado no puede ser de Hausdorff a menos que contenga un solo punto.
• Todo espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado por trayectorias o conectado localmente por trayectorias ).
• Dado que el cierre de cada conjunto abierto no vacío en un espacio hiperconectado es el espacio entero, que es un conjunto abierto, cada espacio hiperconectado es extremalmente desconectado .
• La imagen continua de un espacio hiperconexo es hiperconexa. ^[5] En particular, cualquier función continua de un espacio hiperconexo a un espacio de Hausdorff debe ser constante. De ello se deduce que todo espacio hiperconexo es pseudocompacto .
• Todo subespacio abierto de un espacio hiperconectado es hiperconectado. ^[6]

Demostración: Sea un subconjunto abierto. Dos subconjuntos abiertos disjuntos de serían a su vez subconjuntos abiertos disjuntos de . Por lo tanto, al menos uno de ellos debe estar vacío. ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• De manera más general, cada subconjunto denso de un espacio hiperconectado está hiperconectado.

Demostración: Supongamos que es un subconjunto denso de y con , cerrado en . Entonces . Como es hiperconectado, uno de los dos cierres es todo el espacio , digamos . Esto implica que es denso en , y como está cerrado en , debe ser igual a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• Un subespacio cerrado de un espacio hiperconectado no necesita estar hiperconectado.

Contraejemplo: un cuerpo algebraicamente cerrado (por tanto infinito) es hiperconexo ^[7] en la topología de Zariski , mientras que es cerrado y no hiperconexo . ${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$

• El cierre de cualquier conjunto irreducible es irreducible. ^[8]

Prueba: Supongamos que es irreducible y escribimos para dos subconjuntos cerrados (y por lo tanto en ). están cerrados en y lo que implica o , pero entonces o por definición de cierre . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$ ${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=F'\cup G'}$ ${\displaystyle S\subseteq F}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$

• Un espacio que puede escribirse como abierto e irreducible tal que es irreducible. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$

Demostración: En primer lugar, observamos que si es un conjunto abierto no vacío en entonces interseca a ambos y ; de hecho, supongamos que , entonces es denso en , por lo tanto y es un punto de clausura de lo que implica y a fortiori . Ahora y tomando la clausura por lo tanto es un subconjunto abierto y denso no vacío de . Como esto es cierto para todo subconjunto abierto no vacío, es irreducible. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Componentes irreducibles

Un componente irreducible ^[10] en un espacio topológico es un subconjunto irreducible máximo (es decir, un conjunto irreducible que no está contenido en ningún conjunto irreducible mayor). Los componentes irreducibles siempre son cerrados.

Cada subconjunto irreducible de un espacio X está contenido en un componente irreducible (no necesariamente único) de X . ^[11] En particular, cada punto de X está contenido en algún componente irreducible de X . A diferencia de los componentes conexos de un espacio, los componentes irreducibles no necesitan ser disjuntos (es decir, no necesitan formar una partición ). En general, los componentes irreducibles se superpondrán.

Los componentes irreducibles de un espacio de Hausdorff son simplemente los conjuntos singleton .

Como todo espacio irreducible es conexo, los componentes irreducibles siempre estarán en los componentes conexos.

Todo espacio topológico noetheriano tiene un número finito de componentes irreducibles. ^[12]

Véase también

• Espacio ultraconectado
• Espacio sobrio
• Geométricamente irreducible

Notas

1. Steen y Seebach, pág. 29
2. Hart, Nagata y Vaughan 2004, pág. 9.
3. Van Douwen, Eric K. (1993). "Un espacio anti-Hausdorff Fréchet en el que las sucesiones convergentes tienen límites únicos". Topología y sus aplicaciones . 51 (2): 147–158. doi : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
4. "Sección 5.8 (004U): Componentes irreducibles—El proyecto Stacks".
5. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95.ISBN​ 978-3-540-64239-8.
6. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95.ISBN​ 978-3-540-64239-8.
7. Perrin, Daniel (2008). Geometría algebraica. Una introducción . Springer. pág. 14. ISBN 978-1-84800-055-1.
8. "Lema 5.8.3 (004W)—El proyecto Stacks".
9. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95.ISBN​ 978-3-540-64239-8.
10. "Definición 5.8.1 (004V)—El proyecto Stacks".
11. "Lema 5.8.3 (004W)—El proyecto Stacks".
12. "Sección 5.9 (0050): Espacios topológicos noetherianos—El proyecto Stacks".

Referencias

• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier/Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446
• "Espacio hiperconectado". PlanetMath .