El interior de S es el complemento de la clausura del complemento de S. En este sentido, interior y clausura son nociones duales .
El exterior de un conjunto S es el complemento de la clausura de S ; está formado por los puntos que no están ni en el conjunto ni en su borde . El interior, el borde y el exterior de un subconjunto dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos están vacíos ).
Si es un subconjunto de un espacio euclidiano , entonces es un punto interior de si existe una bola abierta centrada en que está completamente contenida en
(Esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo).
Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico con métrica : es un punto interior de si existe un número real tal que está en siempre que la distancia
Esta definición se generaliza a los espacios topológicos reemplazando "bola abierta" por " conjunto abierto ". Si es un subconjunto de un espacio topológico , entonces es un punto interior de en si está contenido en un subconjunto abierto de que está completamente contenido en
(Equivalentemente, es un punto interior de si es un entorno de )
Interior de un conjunto
El interior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o o puede definirse de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:
es el subconjunto abierto más grande contenido en
es la unión de todos los conjuntos abiertos de contenidos en
es el conjunto de todos los puntos interiores de
Si el espacio se entiende a partir del contexto, generalmente se prefiere la notación más corta.
Ejemplos
En cualquier espacio, el interior del conjunto vacío es el conjunto vacío.
En cualquier espacio si entonces
Si es la recta real (con la topología estándar), entonces mientras que el interior del conjunto de números racionales está vacío:
Si se considera la topología en la que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, entonces es el conjunto vacío.
Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.
En cualquier espacio discreto , como todo conjunto es abierto, todo conjunto es igual a su interior.
En cualquier espacio indiscreto ya que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, y para cada subconjunto propio de es el conjunto vacío.
Propiedades
Sea un espacio topológico y sean y subconjuntos de
Sin embargo, el operador interior no distribuye entre uniones ya que solo está garantizado en general y la igualdad podría no cumplirse. [nota 1] Por ejemplo, si y entonces es un subconjunto propio de
Monótona / no decreciente con respecto a : Si entonces
Otras propiedades incluyen:
Si está cerrado y entonces
Relación con el cierre
Las afirmaciones anteriores seguirán siendo verdaderas si todas las instancias de los símbolos/palabras
"interior", "int", "abierto", "subconjunto" y "más grande"
se sustituyen respectivamente por
" cierre ", "cl", "cerrado", "superconjunto" y "más pequeño"
y se intercambian los siguientes símbolos:
" " intercambiado con " "
" " intercambiado con " "
Para más detalles sobre este asunto, véase el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski .
Operador interior
El operador interior es dual al operador de clausura , que se denota por o por una barra invertida — , en el sentido de que
y también
donde es el espacio topológico que contiene y la barra invertida denota la diferencia de la teoría de conjuntos . Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de clausura y los axiomas de clausura de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores, reemplazando los conjuntos con sus complementos en
En general, el operador interior no conmuta con las uniones. Sin embargo, en un espacio métrico completo, se cumple el siguiente resultado:
El resultado anterior implica que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire .
Exterior de un conjunto
El exterior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o simplemente es el conjunto abierto más grande disjunto de es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos en que son disjuntos de El exterior es el interior del complemento, que es el mismo que el complemento del cierre; [2] en fórmulas,
De manera similar, el interior es el exterior del complemento:
El interior, el límite y el exterior de un conjunto dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos están vacíos):
donde denota el límite de [3] El interior y el exterior siempre están abiertos , mientras que el límite está cerrado .
Algunas de las propiedades del operador exterior son diferentes a las del operador interior:
El operador exterior invierte las inclusiones; si entonces
El operador exterior no es idempotente . Tiene la propiedad de que
Formas disjuntas interiores
Dos formas y se denominan disjuntas interiores si la intersección de sus interiores está vacía. Las formas disjuntas interiores pueden o no intersecarse en su límite.
^ Zalinescu, C (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1.OCLC 285163112 .
^ Bourbaki 1989, pág. 24.
^ Bourbaki 1989, pág. 25.
^ La identidad análoga para el operador de clausura es Estas identidades pueden recordarse con la siguiente regla mnemotécnica. Así como la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta, también el operador interior distribuye sobre las intersecciones de forma explícita: Y de forma similar, así como la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, también el operador de clausura distribuye sobre las uniones de forma explícita: