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Interior (topología)

El punto x es un punto interior de S. El punto y está en el límite de S.

En matemáticas , específicamente en topología , el interior de un subconjunto S de un espacio topológico X es la unión de todos los subconjuntos de S que son abiertos en X. Un punto que está en el interior de S es un punto interior de S.

El interior de S es el complemento de la clausura del complemento de S. En este sentido, interior y clausura son nociones duales .

El exterior de un conjunto S es el complemento de la clausura de S ; está formado por los puntos que no están ni en el conjunto ni en su borde . El interior, el borde y el exterior de un subconjunto dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos están vacíos ).

El interior y el exterior de una curva cerrada son un concepto ligeramente diferente; consulte el teorema de la curva de Jordan .

Definiciones

Punto interior

Si es un subconjunto de un espacio euclidiano , entonces es un punto interior de si existe una bola abierta centrada en que está completamente contenida en (Esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo).

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico con métrica : es un punto interior de si existe un número real tal que está en siempre que la distancia

Esta definición se generaliza a los espacios topológicos reemplazando "bola abierta" por " conjunto abierto ". Si es un subconjunto de un espacio topológico , entonces es un punto interior de en si está contenido en un subconjunto abierto de que está completamente contenido en (Equivalentemente, es un punto interior de si es un entorno de )

Interior de un conjunto

El interior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o o puede definirse de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

  1. es el subconjunto abierto más grande contenido en
  2. es la unión de todos los conjuntos abiertos de contenidos en
  3. es el conjunto de todos los puntos interiores de

Si el espacio se entiende a partir del contexto, generalmente se prefiere la notación más corta.

Ejemplos

es un punto interior de porque hay una vecindad ε de a que es un subconjunto de

En el conjunto de números reales se pueden poner otras topologías distintas a la estándar:

Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

Propiedades

Sea un espacio topológico y sean y subconjuntos de

Otras propiedades incluyen:

Relación con el cierre

Las afirmaciones anteriores seguirán siendo verdaderas si todas las instancias de los símbolos/palabras

"interior", "int", "abierto", "subconjunto" y "más grande"

se sustituyen respectivamente por

" cierre ", "cl", "cerrado", "superconjunto" y "más pequeño"

y se intercambian los siguientes símbolos:

  1. " " intercambiado con " "
  2. " " intercambiado con " "

Para más detalles sobre este asunto, véase el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski .

Operador interior

El operador interior es dual al operador de clausura , que se denota por o por una barra invertida , en el sentido de que y también donde es el espacio topológico que contiene y la barra invertida denota la diferencia de la teoría de conjuntos . Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de clausura y los axiomas de clausura de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores, reemplazando los conjuntos con sus complementos en

En general, el operador interior no conmuta con las uniones. Sin embargo, en un espacio métrico completo, se cumple el siguiente resultado:

Teorema [1]  (C. Ursescu)  —  Sea una secuencia de subconjuntos de un espacio métrico completo

El resultado anterior implica que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire .

Exterior de un conjunto

El exterior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o simplemente es el conjunto abierto más grande disjunto de es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos en que son disjuntos de El exterior es el interior del complemento, que es el mismo que el complemento del cierre; [2] en fórmulas,

De manera similar, el interior es el exterior del complemento:

El interior, el límite y el exterior de un conjunto dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos están vacíos): donde denota el límite de [3] El interior y el exterior siempre están abiertos , mientras que el límite está cerrado .

Algunas de las propiedades del operador exterior son diferentes a las del operador interior:

Formas disjuntas interiores

Las formas rojas no están disjuntas internamente con el Triángulo azul. Las formas verdes y amarillas están disjuntas internamente con el Triángulo azul, pero solo la forma amarilla está completamente disjunta con el Triángulo azul.

Dos formas y se denominan disjuntas interiores si la intersección de sus interiores está vacía. Las formas disjuntas interiores pueden o no intersecarse en su límite.

Véase también

Referencias

  1. ^ Zalinescu, C (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1.OCLC 285163112  .
  2. ^ Bourbaki 1989, pág. 24.
  3. ^ Bourbaki 1989, pág. 25.
  1. ^ La identidad análoga para el operador de clausura es Estas identidades pueden recordarse con la siguiente regla mnemotécnica. Así como la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta, también el operador interior distribuye sobre las intersecciones de forma explícita: Y de forma similar, así como la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, también el operador de clausura distribuye sobre las uniones de forma explícita:

Bibliografía

Enlaces externos