En álgebra abstracta , un álgebra interior es un cierto tipo de estructura algebraica que codifica la idea del interior topológico de un conjunto. Las álgebras interiores son para la topología y la lógica modal S4 lo que las álgebras booleanas son para la teoría de conjuntos y la lógica proposicional ordinaria . Las álgebras interiores forman una variedad de álgebras modales .
Un álgebra interior es una estructura algebraica con la firma
dónde
es un álgebra booleana y el sufijo I designa un operador unario , el operador interior , que satisface las identidades:
x I se llama interior de x .
El dual del operador interior es el operador de cierre C definido por x C = (( x ′) I )′. x C se llama cierre de x . Por el principio de dualidad , el operador de cierre satisface las identidades:
Si el operador de cierre se toma como primitivo, el operador interior se puede definir como x I = (( x ′) C )′. Así, la teoría de álgebras interiores se puede formular utilizando el operador de cierre en lugar del operador interior, en cuyo caso se consideran álgebras de cierre de la forma ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, C ⟩, donde ⟨ S , · , +, ′, 0, 1⟩ es nuevamente un álgebra booleana y C satisface las identidades anteriores para el operador de cierre. Las álgebras de cierre e interiores forman pares duales y son ejemplos paradigmáticos de "álgebras de Boole con operadores". La literatura inicial sobre este tema (principalmente topología polaca) invocaba operadores de cierre, pero la formulación del operador interior finalmente se convirtió en la norma [ cita necesaria ] siguiendo el trabajo de Wim Blok .
Los elementos de un álgebra interior que satisfacen la condición x I = x se llaman abiertos . Los complementos de elementos abiertos se llaman cerrados y se caracterizan por la condición x C = x . El interior de un elemento siempre está abierto y el cierre de un elemento siempre está cerrado. Los interiores de elementos cerrados se denominan abiertos regulares y los cierres de elementos abiertos se denominan cerrados regulares . Los elementos que son a la vez abiertos y cerrados se denominan clopen . 0 y 1 están cerrados.
Un álgebra interior se llama booleana si todos sus elementos son abiertos (y por tanto abiertos). Las álgebras interiores de Boole se pueden identificar con las álgebras de Boole ordinarias ya que sus operadores interiores y de cierre no proporcionan una estructura adicional significativa. Un caso especial es la clase de álgebras interiores triviales , que son álgebras interiores de un solo elemento caracterizadas por la identidad 0 = 1.
Las álgebras interiores, por ser estructuras algebraicas , tienen homomorfismos . Dadas dos álgebras interiores A y B , un mapa f : A → B es un homomorfismo de álgebra interior si y sólo si f es un homomorfismo entre las álgebras booleanas subyacentes de A y B , que también conserva interiores y cierres. Por eso:
Los topomorfismos son otra clase importante y más general de morfismos entre álgebras interiores. Un mapa f : A → B es un topomorfismo si y sólo si f es un homomorfismo entre las álgebras booleanas subyacentes a A y B , que también preserva los elementos abiertos y cerrados de A . Por eso:
(Estos morfismos también se han denominado homomorfismos estables y semihomomorfismos de álgebra de cierre ). Todo homomorfismo de álgebra interior es un topomorfismo, pero no todo topomorfismo es un homomorfismo de álgebra interior.
Las primeras investigaciones a menudo consideraban asignaciones entre álgebras interiores que eran homomorfismos de las álgebras booleanas subyacentes pero que no necesariamente preservaban el operador interior o de cierre. Estas asignaciones se denominaron homomorfismos booleanos . (Los términos homomorfismo de cierre u homomorfismo topológico se usaron en el caso en que se preservaron, pero esta terminología ahora es redundante ya que la definición estándar de homomorfismo en álgebra universal requiere que preserve todas las operaciones). Aplicaciones que involucran álgebras interiores contablemente completas (en (que siempre existen encuentros y uniones contables , también llamados σ-completos ) normalmente hacían uso de homomorfismos booleanos contablemente completos, también llamados σ-homomorfismos booleanos , que preservan encuentros y uniones contables.
La primera generalización de continuidad a álgebras interiores fue la de Sikorski , basada en el mapa de imágenes inversas de un mapa continuo . Este es un homomorfismo booleano, conserva uniones de secuencias e incluye el cierre de una imagen inversa en la imagen inversa del cierre. Sikorski definió así un homomorfismo continuo como un σ-homomorfismo booleano f entre dos álgebras interiores σ-completas tales que f ( x ) C ≤ f ( x C ). Esta definición tuvo varias dificultades: la construcción actúa de manera contravariante produciendo un dual de un mapa continuo en lugar de una generalización. Por un lado, la σ-completitud es demasiado débil para caracterizar mapas de imágenes inversas (se requiere integridad), por otro lado, es demasiado restrictiva para una generalización. (Sikorski comentó sobre el uso de homomorfismos no σ-completos pero incluyó σ-completitud en sus axiomas para álgebras de cierre ). Más tarde, J. Schmid definió un homomorfismo continuo o morfismo continuo para álgebras interiores como un homomorfismo booleano f entre dos álgebras interiores que satisfacen f ( x C ) ≤ f ( x ) C . Esto generaliza el mapa de imagen directa de un mapa continuo: la imagen de un cierre está contenida en el cierre de la imagen. Esta construcción es covariante pero no adecuada para aplicaciones de teoría de categorías ya que solo permite la construcción de morfismos continuos a partir de mapas continuos en el caso de biyecciones. (C. Naturman volvió al enfoque de Sikorski y abandonó la σ-completitud para producir topomorfismos como se definió anteriormente. En esta terminología, los "homomorfismos continuos" originales de Sikorski son topomorfismos σ-completos entre álgebras interiores σ-completas).
Dado un espacio topológico X = ⟨ X , T ⟩ se puede formar el conjunto de potencias del álgebra booleana de X :
y extenderlo a un álgebra interior
donde I es el operador interior topológico habitual. Para todo S ⊆ X está definido por
Para todo S ⊆ X, el operador de cierre correspondiente viene dado por
S I es el subconjunto abierto más grande de S y S C es el superconjunto cerrado más pequeño de S en X. Los elementos abierto, cerrado, abierto regular, cerrado regular y clopen del álgebra interior A ( X ) son solo los subconjuntos abierto, cerrado, abierto regular, cerrado regular y clopen de X respectivamente en el sentido topológico habitual.
Cada álgebra interior atómica completa es isomorfa a un álgebra interior de la forma A ( X ) para algún espacio topológico X. Además, cada álgebra interior puede integrarse en dicha álgebra interior dando una representación de un álgebra interior como un campo topológico de conjuntos . Las propiedades de la estructura A ( X ) son la motivación misma para la definición de álgebras interiores. Debido a esta íntima conexión con la topología, las álgebras interiores también han sido llamadas álgebras topo-Booleanas o álgebras topológicas de Boole .
Dado un mapa continuo entre dos espacios topológicos
podemos definir un topomorfismo completo
por
para todos los subconjuntos S de Y . Cada topomorfismo completo entre dos álgebras interiores atómicas completas se puede derivar de esta manera. Si Top es la categoría de espacios topológicos y mapas continuos y Cit es la categoría de álgebras interiores atómicas completas y topomorfismos completos, entonces Top y Cit son dualmente isomorfos y A : Top → Cit es un funtor contravariante que es un isomorfismo dual de categorías. A ( f ) es un homomorfismo si y sólo si f es un mapa abierto continuo .
Bajo este isomorfismo dual de categorías, muchas propiedades topológicas naturales corresponden a propiedades algebraicas, en particular las propiedades de conexión corresponden a propiedades de irreducibilidad:
La formulación moderna de espacios topológicos en términos de topologías de subconjuntos abiertos motiva una formulación alternativa de álgebras interiores: un espacio topológico generalizado es una estructura algebraica de la forma
donde ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ es un álgebra booleana como de costumbre, y T es una relación unaria en B (subconjunto de B ) tal que:
Se dice que T es una topología generalizada en el álgebra de Boole.
Dada un álgebra interior, sus elementos abiertos forman una topología generalizada. Por el contrario, dado un espacio topológico generalizado
podemos definir un operador interior en B mediante b I = Σ{ a ∈ T | a ≤ b } produciendo así un álgebra interior cuyos elementos abiertos son precisamente T . Por tanto, los espacios topológicos generalizados son equivalentes a las álgebras interiores.
Considerando que las álgebras interiores son espacios topológicos generalizados, los topomorfismos son entonces los homomorfismos estándar de las álgebras booleanas con relaciones añadidas, de modo que se aplican los resultados estándar del álgebra universal .
El concepto topológico de vecindad se puede generalizar a álgebras interiores: se dice que un elemento y de un álgebra interior es una vecindad de un elemento x si x ≤ y I. El conjunto de vecindades de x se denota por N ( x ) y forma un filtro . Esto lleva a otra formulación de álgebras interiores:
Una función de vecindad en un álgebra booleana es un mapeo N de su conjunto subyacente B a su conjunto de filtros, tal que:
El mapeo de N de elementos de un álgebra interior a sus filtros de vecindad es una función de vecindad en el álgebra booleana subyacente del álgebra interior. Además, dada una función de vecindad N en un álgebra booleana con un conjunto subyacente B , podemos definir un operador interior mediante x I = max{y ∈ B | x ∈ N ( y )} obteniendo así un álgebra interior. será entonces precisamente el filtro de vecindades de x en este álgebra interior. Por tanto, las álgebras interiores son equivalentes a las álgebras de Boole con funciones de vecindad específicas.
En términos de funciones de vecindad, los elementos abiertos son precisamente aquellos elementos x tales que x ∈ N ( x ) . En términos de elementos abiertos x ∈ N ( y ) si y solo si hay un elemento abierto z tal que y ≤ z ≤ x .
Las funciones de vecindad se pueden definir de manera más general en (semi)redes de (encuentro) que producen las estructuras conocidas como (semi)redes de vecindad. Por tanto, las álgebras interiores pueden considerarse precisamente como redes de vecindad booleanas, es decir, aquellas redes de vecindad cuya semired subyacente forma un álgebra de Boole.
Dada una teoría (conjunto de oraciones formales) M en la lógica modal S4 , podemos formar su álgebra de Lindenbaum-Tarski :
donde ~ es la relación de equivalencia en oraciones en M dada por p ~ q si y solo si p y q son lógicamente equivalentes en M , y M / ~ es el conjunto de clases de equivalencia bajo esta relación. Entonces L ( M ) es un álgebra interior. El operador interior en este caso corresponde al operador modal □ ( necesariamente ), mientras que el operador de cierre corresponde a ◊ ( posiblemente ). Esta construcción es un caso especial de un resultado más general para álgebras modales y lógica modal.
Los elementos abiertos de L ( M ) corresponden a oraciones que sólo son verdaderas si son necesariamente verdaderas, mientras que los elementos cerrados corresponden a aquellas que sólo son falsas si son necesariamente falsas.
Debido a su relación con S4 , las álgebras interiores a veces se denominan álgebras S4 o álgebras de Lewis , en honor al lógico C. I. Lewis , quien propuso por primera vez las lógicas modales S4 y S5 .
Dado que las álgebras interiores son álgebras booleanas (normales) con operadores , pueden representarse mediante campos de conjuntos en estructuras relacionales apropiadas. En particular, al ser álgebras modales , se pueden representar como campos de conjuntos en un conjunto con una única relación binaria , llamado marco de Kripke . Los marcos de Kripke correspondientes a álgebras interiores son precisamente los conjuntos preordenados . Los conjuntos preordenados (también llamados marcos S4 ) proporcionan la semántica de Kripke de la lógica modal S4 , y la conexión entre álgebras interiores y preordenes está profundamente relacionada con su conexión con la lógica modal.
Dado un conjunto preordenado X = ⟨ X , «⟩ podemos construir un álgebra interior
del conjunto de potencias Álgebra booleana de X donde el operador interior I viene dado por
El operador de cierre correspondiente viene dado por
S I es el conjunto de todos los mundos inaccesibles desde mundos fuera de S , y S C es el conjunto de todos los mundos accesibles desde algún mundo en S. Cada álgebra interior puede integrarse en un álgebra interior de la forma B ( X ) para algún conjunto X preordenado , dando la representación antes mencionada como un campo de conjuntos (un campo de preorden ).
Este teorema de construcción y representación es un caso especial del resultado más general de álgebras modales y marcos de Kripke. En este sentido, las álgebras interiores son particularmente interesantes debido a su conexión con la topología . La construcción proporciona al conjunto X preordenado una topología , la topología de Alexandrov , produciendo un espacio topológico T ( X ) cuyos conjuntos abiertos son:
Los conjuntos cerrados correspondientes son:
En otras palabras, los conjuntos abiertos son aquellos cuyos mundos son inaccesibles desde el exterior (los up-sets ), y los cerrados son aquellos para los cuales todo mundo exterior es inaccesible desde el interior (los down-sets ). Además, B ( X ) = A ( T ( X )).
Cualquier álgebra booleana monádica puede considerarse un álgebra interior donde el operador interior es el cuantificador universal y el operador de cierre es el cuantificador existencial. Las álgebras booleanas monádicas son entonces precisamente la variedad de álgebras interiores que satisfacen la identidad x IC = x I. En otras palabras, son precisamente las álgebras interiores en las que todo elemento abierto está cerrado o, equivalentemente, en las que todo elemento cerrado está abierto. Además, dichas álgebras interiores son precisamente álgebras interiores semisimples . También son las álgebras interiores correspondientes a la lógica modal S5 , por lo que también se les ha llamado álgebras S5 .
En la relación entre conjuntos preordenados y álgebras interiores corresponden al caso en el que el preorden es una relación de equivalencia , lo que refleja el hecho de que dichos conjuntos preordenados proporcionan la semántica de Kripke para S5 . Esto también refleja la relación entre la lógica monádica de cuantificación (para la cual las álgebras booleanas monádicas proporcionan una descripción algebraica ) y S5 , donde los operadores modales □ ( necesariamente ) y ◊ ( posiblemente ) pueden interpretarse en la semántica de Kripke utilizando cuantificación monádica universal y existencial. , respectivamente, sin referencia a una relación de accesibilidad.
Los elementos abiertos de un álgebra interior forman un álgebra de Heyting y los elementos cerrados forman un álgebra de Heyting dual . Los elementos abiertos regulares y los elementos cerrados regulares corresponden a los elementos pseudocomplementados y elementos pseudocomplementados duales de estas álgebras respectivamente y, por lo tanto, forman álgebras de Boole. Los elementos abiertos corresponden a los elementos complementados y forman una subálgebra común de estas álgebras de Boole así como de la propia álgebra interior. Cada álgebra de Heyting se puede representar como los elementos abiertos de un álgebra interior y esta última puede elegirse como un álgebra interior generada por sus elementos abiertos; tales álgebras interiores se corresponden uno a uno con las álgebras de Heyting (hasta el isomorfismo) siendo el Extensiones booleanas gratuitas de este último.
Las álgebras de Heyting desempeñan el mismo papel para la lógica intuicionista que las álgebras interiores desempeñan para la lógica modal S4 y las álgebras de Boole para la lógica proposicional . La relación entre las álgebras de Heyting y las álgebras interiores refleja la relación entre la lógica intuicionista y S4 , en la que se pueden interpretar las teorías de la lógica intuicionista como teorías S4 cerradas por necesidad . La correspondencia uno a uno entre las álgebras de Heyting y las álgebras interiores generadas por sus elementos abiertos refleja la correspondencia entre extensiones de la lógica intuicionista y extensiones normales de la lógica modal S4.Grz .
Dada un álgebra interior A , el operador de cierre obedece a los axiomas del operador derivativo , D. Por lo tanto, podemos formar un álgebra derivada D ( A ) con la misma álgebra booleana subyacente que A utilizando el operador de cierre como operador derivativo.
Así, las álgebras interiores son álgebras derivadas . Desde esta perspectiva, son precisamente la variedad de álgebras derivadas que satisfacen la identidad x D ≥ x . Las álgebras derivadas proporcionan la semántica algebraica adecuada para la lógica modal wK4 . Por lo tanto, las álgebras derivadas representan conjuntos derivados topológicos y wK4 como las álgebras interiores/de cierre representan interiores/cierres topológicos y S4 .
Dada un álgebra derivada V con operador derivativo D , podemos formar un álgebra interior I ( V ) con el mismo álgebra booleana subyacente que V , con operadores interiores y de cierre definidos por x I = x · x ′ D ′ y x C = x + xD , respectivamente. Por tanto, toda álgebra derivada puede considerarse como un álgebra interior. Además, dada un álgebra interior A , tenemos I ( D ( A )) = A. Sin embargo, D ( I ( V )) = V no necesariamente se cumple para cada álgebra derivada V .
La dualidad de piedra proporciona una categoría de dualidad teórica entre las álgebras booleanas y una clase de espacios topológicos conocidos como espacios booleanos . Basándose en ideas incipientes de semántica relacional (posteriormente formalizada por Kripke ) y como resultado de RS Pierce, Jónsson , Tarski y G. Hansoul extendieron la dualidad de Stone a álgebras booleanas con operadores equipando espacios booleanos con relaciones que corresponden a los operadores a través de un conjunto de potencias. construcción . En el caso de álgebras interiores, el operador interior (o de cierre) corresponde a un pedido anticipado en el espacio booleano. Los homomorfismos entre álgebras interiores corresponden a una clase de mapas continuos entre espacios booleanos conocidos como pseudoepimorfismos o p-morfismos para abreviar. Esta generalización de la dualidad de Stone a álgebras interiores basada en la representación de Jónsson-Tarski fue investigada por Leo Esakia y también se conoce como dualidad de Esakia para álgebras S4 (álgebras interiores) y está estrechamente relacionada con la dualidad de Esakia para álgebras de Heyting.
Mientras que la generalización de Jónsson-Tarski de la dualidad de Stone se aplica a las álgebras booleanas con operadores en general, la conexión entre las álgebras interiores y la topología permite otro método de generalizar la dualidad de Stone que es exclusivo de las álgebras interiores. Un paso intermedio en el desarrollo de la dualidad de Stone es el teorema de representación de Stone , que representa un álgebra de Boole como un campo de conjuntos . Luego se genera la topología Stone del espacio booleano correspondiente utilizando el campo de conjuntos como base topológica . Basándose en la semántica topológica introducida por Tang Tsao-Chen para la lógica modal de Lewis, McKinsey y Tarski demostraron que generando una topología equivalente a utilizar sólo los complejos que corresponden a elementos abiertos como base, se obtiene una representación de un álgebra interior como campo topológico de conjuntos : un campo de conjuntos en un espacio topológico que está cerrado con respecto a la toma de interiores o cierres. Al equipar los campos topológicos de conjuntos con morfismos apropiados conocidos como mapas de campo , C. Naturman demostró que este enfoque puede formalizarse como una categoría teórica de dualidad de Stone en la que la dualidad de Stone habitual para las álgebras de Boole corresponde al caso de álgebras interiores que tienen un operador interior redundante. (Álgebras interiores de Boole).
El preorden obtenido en el enfoque de Jónsson-Tarski corresponde a la relación de accesibilidad en la semántica de Kripke para una teoría S4, mientras que el campo intermedio de conjuntos corresponde a una representación del álgebra de Lindenbaum-Tarski para la teoría utilizando los conjuntos de mundos posibles. en la semántica de Kripke en la que se mantienen las oraciones de la teoría. Pasar del campo de conjuntos a un espacio booleano confunde un poco esta conexión. Al tratar los campos de conjuntos en pedidos anticipados como una categoría en sí misma, esta conexión profunda puede formularse como una dualidad teórica de categorías que generaliza la representación de Stone sin topología. R. Goldblatt había demostrado que con restricciones a los homomorfismos apropiados se puede formular tal dualidad para álgebras modales arbitrarias y marcos de Kripke. Naturman demostró que en el caso de álgebras interiores esta dualidad se aplica a topomorfismos más generales y puede factorizarse mediante un funtor teórico de categorías a través de la dualidad con campos topológicos de conjuntos. Estos últimos representan el álgebra de Lindenbaum-Tarski utilizando conjuntos de puntos que satisfacen oraciones de la teoría S4 en la semántica topológica. El pedido anticipado se puede obtener como pedido anticipado de especialización de la topología McKinsey-Tarski. La dualidad de Esakia se puede recuperar mediante un funtor que reemplaza el campo de conjuntos con el espacio booleano que genera. A través de un funtor que reemplaza el preorden con su correspondiente topología de Alexandrov, se obtiene una representación alternativa del álgebra interior como un campo de conjuntos donde la topología es la bicorrelección de Alexandrov de la topología de McKinsey-Tarski. G. Bezhanishvili, R.Mines y G. Bezhanishvili, R.Mines y PJ Morandi. La topología McKinsey-Tarski de un álgebra interior es la intersección de las dos topologías anteriores.
Grzegorczyk demostró que la teoría de primer orden de las álgebras de cierre es indecidible . [1] [2] Naturman demostró que la teoría es hereditariamente indecidible (todas sus subteorías son indecidibles) y demostró una cadena infinita de clases elementales de álgebras interiores con teorías hereditariamente indecidibles.
