En álgebra abstracta , un álgebra booleana monádica es una estructura algebraica A con firma
donde ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ es un álgebra de Boole .
El operador monádico / unario ∃ denota el cuantificador existencial , que satisface las identidades (utilizando la notación de prefijo recibida para ∃):
∃ x es el cierre existencial de x . Dual de ∃ es el operador unario ∀, el cuantificador universal , definido como ∀ x := (∃ x ′ ) ′ .
Un álgebra booleana monádica tiene una definición y notación dual que toma ∀ como primitiva y ∃ como definida, de modo que ∃ x := (∀ x ′ ) ′ . (Compare esto con la definición del álgebra booleana dual ). Por lo tanto, con esta notación, un álgebra A tiene la signatura ⟨·, +, ', 0, 1, ∀⟩ , con ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ un álgebra booleana, como antes. Además, ∀ satisface la siguiente versión dualizada de las identidades anteriores:
∀ x es la clausura universal de x .
Las álgebras booleanas monádicas tienen una conexión importante con la topología . Si ∀ se interpreta como el operador interior de la topología, (1)–(3) anteriores más el axioma ∀(∀ x ) = ∀ x forman los axiomas para un álgebra interior . Pero ∀(∀ x ) = ∀ x se puede demostrar a partir de (1)–(4). Además, una axiomatización alternativa de las álgebras booleanas monádicas consiste en los axiomas (reinterpretados) para un álgebra interior , más ∀(∀ x ) ' = (∀ x )' (Halmos 1962: 22). Por lo tanto, las álgebras booleanas monádicas son las álgebras interiores/ de clausura semisimples tales que:
Una axiomatización más concisa del álgebra booleana monádica es la (1) y (2) anteriores, más ∀( x ∨∀ y ) = ∀ x ∨∀ y (Halmos 1962: 21). Esta axiomatización oscurece la conexión con la topología.
Las álgebras booleanas monádicas forman una variedad . Son a la lógica de predicados monádica lo que las álgebras booleanas son a la lógica proposicional y lo que las álgebras poliádicas son a la lógica de primer orden . Paul Halmos descubrió las álgebras booleanas monádicas mientras trabajaba en álgebras poliádicas; Halmos (1962) reimprime los artículos relevantes. Halmos y Givant (1998) incluyen un tratamiento de pregrado del álgebra booleana monádica.
Las álgebras booleanas monádicas también tienen una conexión importante con la lógica modal . La lógica modal S5 , vista como una teoría en S4 , es un modelo de álgebras booleanas monádicas de la misma manera que S4 es un modelo de álgebra interior. Asimismo, las álgebras booleanas monádicas proporcionan la semántica algebraica para S5 . Por lo tanto , el álgebra S5 es un sinónimo de álgebra booleana monádica.