En álgebra abstracta , un álgebra interior es un tipo de estructura algebraica que codifica la idea del interior topológico de un conjunto. Las álgebras interiores son a la topología y a la lógica modal S4 lo que las álgebras booleanas son a la teoría de conjuntos y a la lógica proposicional ordinaria . Las álgebras interiores forman una variedad de álgebras modales .
Un álgebra interior es una estructura algebraica con la firma
dónde
es un álgebra de Boole y el sufijo I designa un operador unario , el operador interior , que satisface las identidades:
x I se llama el interior de x .
El dual del operador interior es el operador de clausura C definido por x C = (( x ′) I )′. x C se denomina clausura de x . Por el principio de dualidad , el operador de clausura satisface las identidades:
Si el operador de clausura se toma como primitivo, el operador interior puede definirse como x I = (( x ′) C )′. Por lo tanto, la teoría de las álgebras interiores puede formularse utilizando el operador de clausura en lugar del operador interior, en cuyo caso se consideran álgebras de clausura de la forma ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, C ⟩, donde ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩ es nuevamente un álgebra de Boole y C satisface las identidades anteriores para el operador de clausura. Las álgebras de clausura e interiores forman pares duales y son instancias paradigmáticas de "álgebras de Boole con operadores". La literatura temprana sobre este tema (principalmente la topología polaca) invocaba operadores de clausura, pero la formulación del operador interior eventualmente se convirtió en la norma [ cita requerida ] después del trabajo de Wim Blok .
Los elementos de un álgebra interior que satisfacen la condición x I = x se denominan abiertos . Los complementos de elementos abiertos se denominan cerrados y se caracterizan por la condición x C = x . Un interior de un elemento siempre está abierto y el cierre de un elemento siempre está cerrado. Los interiores de elementos cerrados se denominan abiertos regulares y los cierres de elementos abiertos se denominan cerrados regulares . Los elementos que son tanto abiertos como cerrados se denominan clopen . 0 y 1 son clopen.
Un álgebra interior se denomina booleana si todos sus elementos son abiertos (y, por lo tanto, clopen). Las álgebras interiores booleanas se pueden identificar con las álgebras booleanas ordinarias, ya que sus operadores interiores y de clausura no proporcionan ninguna estructura adicional significativa. Un caso especial es la clase de álgebras interiores triviales , que son las álgebras interiores de un solo elemento caracterizadas por la identidad 0 = 1.
Las álgebras interiores, en virtud de ser estructuras algebraicas , tienen homomorfismos . Dadas dos álgebras interiores A y B , una función f : A → B es un homomorfismo de álgebra interior si y solo si f es un homomorfismo entre las álgebras booleanas subyacentes de A y B , que también preserva los interiores y las clausuras. Por lo tanto:
Los topomorfismos son otra clase importante y más general de morfismos entre álgebras interiores. Una función f : A → B es un topomorfismo si y solo si f es un homomorfismo entre las álgebras booleanas subyacentes a A y B , que también preserva los elementos abiertos y cerrados de A . Por lo tanto:
(Estos morfismos también se han llamado homomorfismos estables y semihomomorfismos de álgebra de cierre ). Todo homomorfismo de álgebra interior es un topomorfismo, pero no todo topomorfismo es un homomorfismo de álgebra interior.
Las primeras investigaciones solían considerar aplicaciones entre álgebras interiores que eran homomorfismos de las álgebras booleanas subyacentes pero que no necesariamente preservaban el operador interior o de clausura. Dichas aplicaciones se denominaban homomorfismos booleanos . (Los términos homomorfismo de clausura u homomorfismo topológico se usaban en el caso en que estos se preservaban, pero esta terminología ahora es redundante ya que la definición estándar de un homomorfismo en el álgebra universal requiere que preserve todas las operaciones). Las aplicaciones que involucraban álgebras interiores contablemente completas (en las que siempre existen encuentros y uniones contables , también llamadas σ-completas ) generalmente hacían uso de homomorfismos booleanos contablemente completos también llamados σ-homomorfismos booleanos —estos preservan encuentros y uniones contables.
La primera generalización de la continuidad a las álgebras interiores fue la de Sikorski , basada en la función imagen inversa de una función continua . Se trata de un homomorfismo booleano, que conserva las uniones de sucesiones e incluye la clausura de una imagen inversa en la imagen inversa de la clausura. Sikorski definió así un homomorfismo continuo como un σ-homomorfismo booleano f entre dos álgebras interiores σ-completas tales que f ( x ) C ≤ f ( x C ). Esta definición tenía varias dificultades: la construcción actúa de forma contravariante produciendo un dual de una función continua en lugar de una generalización. Por un lado, la σ-completitud es demasiado débil para caracterizar funciones imagen inversa (se requiere completitud), por otro lado es demasiado restrictiva para una generalización. (Sikorski comentó sobre el uso de homomorfismos no σ-completos pero incluyó la σ-completitud en sus axiomas para álgebras de clausura ). Más tarde, J. Schmid definió un homomorfismo continuo o morfismo continuo para álgebras interiores como un homomorfismo booleano f entre dos álgebras interiores que satisfacen f ( x C ) ≤ f ( x ) C . Esto generaliza la función de imagen hacia delante de una función continua: la imagen de una clausura está contenida en la clausura de la imagen. Esta construcción es covariante pero no es adecuada para aplicaciones de teoría de categorías , ya que solo permite la construcción de morfismos continuos a partir de funciones continuas en el caso de biyecciones. (C. Naturman volvió al enfoque de Sikorski, pero abandonó la σ-completitud para producir topomorfismos como los definidos anteriormente. En esta terminología, los "homomorfismos continuos" originales de Sikorski son topomorfismos σ-completos entre álgebras interiores σ-completas).
Dado un espacio topológico X = ⟨ X , T ⟩ se puede formar el conjunto potencia del álgebra booleana de X :
y extenderlo a un álgebra interior
donde I es el operador topológico interior habitual. Para todo S ⊆ X se define por
Para todo S ⊆ X el operador de cierre correspondiente viene dado por
S I es el subconjunto abierto más grande de S y S C es el superconjunto cerrado más pequeño de S en X. Los elementos abierto, cerrado, abierto regular, cerrado regular y abierto-clonado del álgebra interior A ( X ) son simplemente los subconjuntos abierto, cerrado, abierto regular, cerrado regular y abierto-clonado de X respectivamente en el sentido topológico habitual.
Toda álgebra interior atómica completa es isomorfa a un álgebra interior de la forma A ( X ) para algún espacio topológico X . Además, toda álgebra interior puede estar incluida en dicha álgebra interior dando una representación de un álgebra interior como un cuerpo topológico de conjuntos . Las propiedades de la estructura A ( X ) son la motivación misma para la definición de álgebras interiores. Debido a esta íntima conexión con la topología, las álgebras interiores también se han denominado álgebras topo-booleanas o álgebras booleanas topológicas .
Dado un mapa continuo entre dos espacios topológicos
Podemos definir un topomorfismo completo
por
para todos los subconjuntos S de Y . Todo topomorfismo completo entre dos álgebras atómicas interiores completas se puede derivar de esta manera. Si Top es la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas y Cit es la categoría de álgebras atómicas interiores completas y topomorfismos completos entonces Top y Cit son dualmente isomorfos y A : Top → Cit es un funtor contravariante que es un isomorfismo dual de categorías. A ( f ) es un homomorfismo si y solo si f es una aplicación abierta continua .
Bajo este doble isomorfismo de categorías, muchas propiedades topológicas naturales corresponden a propiedades algebraicas, en particular las propiedades de conectividad corresponden a propiedades de irreducibilidad:
La formulación moderna de espacios topológicos en términos de topologías de subconjuntos abiertos, motiva una formulación alternativa de álgebras interiores: Un espacio topológico generalizado es una estructura algebraica de la forma
donde ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ es un álgebra de Boole como de costumbre, y T es una relación unaria en B (subconjunto de B ) tal que:
Se dice que T es una topología generalizada en el álgebra de Boole.
Dada una álgebra interior, sus elementos abiertos forman una topología generalizada. A la inversa, dado un espacio topológico generalizado
podemos definir un operador interior en B por b I = Σ{ a ∈ T | a ≤ b } produciendo así un álgebra interior cuyos elementos abiertos son precisamente T . Por lo tanto, los espacios topológicos generalizados son equivalentes a las álgebras interiores.
Considerando las álgebras interiores como espacios topológicos generalizados, los topomorfismos son entonces los homomorfismos estándar de las álgebras de Boole con relaciones agregadas, de modo que se aplican los resultados estándar del álgebra universal .
El concepto topológico de vecindades se puede generalizar a las álgebras interiores: se dice que un elemento y de un álgebra interior es una vecindad de un elemento x si x ≤ y I . El conjunto de vecindades de x se denota por N ( x ) y forma un filtro . Esto conduce a otra formulación de álgebras interiores:
Una función de vecindad en un álgebra de Boole es una aplicación N de su conjunto subyacente B a su conjunto de filtros, tal que:
La aplicación de N elementos de un álgebra interior a sus filtros de vecindades es una función de vecindad en el álgebra booleana subyacente del álgebra interior. Además, dada una función de vecindad N en un álgebra booleana con un conjunto subyacente B , podemos definir un operador interior por x I = max{y ∈ B | x ∈ N ( y )} obteniendo así un álgebra interior. será entonces precisamente el filtro de vecindades de x en esta álgebra interior. Por lo tanto, las álgebras interiores son equivalentes a las álgebras booleanas con funciones de vecindad especificadas.
En términos de funciones de vecindad, los elementos abiertos son precisamente aquellos elementos x tales que x ∈ N ( x ) . En términos de elementos abiertos x ∈ N ( y ) si y solo si existe un elemento abierto z tal que y ≤ z ≤ x .
Las funciones de vecindad pueden definirse de manera más general en semirretículos de (encuentro) , que producen las estructuras conocidas como (semi)retículos de vecindad. Las álgebras interiores pueden considerarse, por lo tanto, precisamente como los retículos de vecindad booleanos , es decir, aquellos retículos de vecindad cuyo semirretículo subyacente forma un álgebra booleana.
Dada una teoría (conjunto de oraciones formales) M en la lógica modal S4 , podemos formar su álgebra de Lindenbaum-Tarski :
donde ~ es la relación de equivalencia sobre oraciones en M dada por p ~ q si y solo si p y q son lógicamente equivalentes en M , y M / ~ es el conjunto de clases de equivalencia bajo esta relación. Entonces L ( M ) es un álgebra interior. El operador interior en este caso corresponde al operador modal □ ( necesariamente ), mientras que el operador de clausura corresponde a ◊ ( posiblemente ). Esta construcción es un caso especial de un resultado más general para álgebras modales y lógica modal.
Los elementos abiertos de L ( M ) corresponden a oraciones que sólo son verdaderas si son necesariamente verdaderas, mientras que los elementos cerrados corresponden a aquellas que sólo son falsas si son necesariamente falsas.
Debido a su relación con S4 , las álgebras interiores a veces se denominan álgebras S4 o álgebras de Lewis , en honor al lógico C. I. Lewis , quien propuso por primera vez las lógicas modales S4 y S5 .
Dado que las álgebras interiores son álgebras booleanas (normales) con operadores , pueden representarse mediante cuerpos de conjuntos en estructuras relacionales apropiadas. En particular, dado que son álgebras modales , pueden representarse como cuerpos de conjuntos en un conjunto con una única relación binaria , llamada marco de Kripke . Los marcos de Kripke correspondientes a las álgebras interiores son precisamente los conjuntos preordenados . Los conjuntos preordenados (también llamados marcos S4 ) proporcionan la semántica de Kripke de la lógica modal S4 , y la conexión entre las álgebras interiores y los preórdenes está profundamente relacionada con su conexión con la lógica modal.
Dado un conjunto preordenado X = ⟨ X , «⟩ podemos construir un álgebra interior
del conjunto potencia del álgebra de Boole de X donde el operador interior I está dado por
El operador de cierre correspondiente viene dado por
S I es el conjunto de todos los mundos inaccesibles desde mundos fuera de S , y S C es el conjunto de todos los mundos accesibles desde algún mundo en S . Cada álgebra interior puede ser incorporada a un álgebra interior de la forma B ( X ) para algún conjunto preordenado X dando la representación mencionada anteriormente como un cuerpo de conjuntos (un cuerpo preordenado ).
Este teorema de construcción y representación es un caso especial del resultado más general para álgebras modales y marcos de Kripke. En este sentido, las álgebras interiores son particularmente interesantes debido a su conexión con la topología . La construcción proporciona al conjunto preordenado X una topología , la topología de Alexandrov , produciendo un espacio topológico T ( X ) cuyos conjuntos abiertos son:
Los conjuntos cerrados correspondientes son:
En otras palabras, los conjuntos abiertos son aquellos cuyos mundos son inaccesibles desde el exterior (los conjuntos up-sets ), y los conjuntos cerrados son aquellos para los cuales todo mundo exterior es inaccesible desde el interior (los conjuntos down-sets ). Además, B ( X ) = A ( T ( X )).
Cualquier álgebra booleana monádica puede considerarse un álgebra interior donde el operador interior es el cuantificador universal y el operador de clausura es el cuantificador existencial. Las álgebras booleanas monádicas son entonces precisamente la variedad de álgebras interiores que satisfacen la identidad x IC = x I . En otras palabras, son precisamente las álgebras interiores en las que todo elemento abierto es cerrado o, equivalentemente, en las que todo elemento cerrado es abierto. Además, tales álgebras interiores son precisamente las álgebras interiores semisimples . También son las álgebras interiores correspondientes a la lógica modal S5 , y por eso también se las ha llamado álgebras S5 .
En la relación entre conjuntos preordenados y álgebras interiores, corresponden al caso donde el preorden es una relación de equivalencia , lo que refleja el hecho de que tales conjuntos preordenados proporcionan la semántica de Kripke para S5 . Esto también refleja la relación entre la lógica monádica de cuantificación (para la cual las álgebras booleanas monádicas proporcionan una descripción algebraica ) y S5 donde los operadores modales □ ( necesariamente ) y ◊ ( posiblemente ) pueden interpretarse en la semántica de Kripke utilizando cuantificación universal y existencial monádica, respectivamente, sin referencia a una relación de accesibilidad.
Los elementos abiertos de un álgebra interior forman un álgebra de Heyting y los elementos cerrados forman un álgebra de Heyting dual . Los elementos abiertos regulares y los elementos cerrados regulares corresponden a los elementos pseudocomplementados y a los elementos pseudocomplementados duales de estas álgebras respectivamente y, por lo tanto, forman álgebras de Boole. Los elementos clopen corresponden a los elementos complementados y forman una subálgebra común de estas álgebras de Boole, así como del álgebra interior en sí. Cada álgebra de Heyting puede representarse como los elementos abiertos de un álgebra interior y esta última puede elegirse como un álgebra interior generada por sus elementos abiertos; tales álgebras interiores se corresponden uno a uno con las álgebras de Heyting (salvo isomorfismo) siendo las extensiones booleanas libres de estas últimas.
Las álgebras de Heyting desempeñan el mismo papel para la lógica intuicionista que las álgebras interiores para la lógica modal S4 y las álgebras de Boole para la lógica proposicional . La relación entre las álgebras de Heyting y las álgebras interiores refleja la relación entre la lógica intuicionista y S4 , en la que se pueden interpretar teorías de la lógica intuicionista como teorías S4 cerradas por necesidad . La correspondencia uno a uno entre las álgebras de Heyting y las álgebras interiores generadas por sus elementos abiertos refleja la correspondencia entre las extensiones de la lógica intuicionista y las extensiones normales de la lógica modal S4.Grz .
Dada un álgebra interior A , el operador de cierre obedece los axiomas del operador derivada , D. Por lo tanto, podemos formar un álgebra derivada D ( A ) con la misma álgebra booleana subyacente que A utilizando el operador de cierre como operador derivada.
Por lo tanto, las álgebras interiores son álgebras derivadas . Desde esta perspectiva, son precisamente la variedad de álgebras derivadas que satisfacen la identidad x D ≥ x . Las álgebras derivadas proporcionan la semántica algebraica apropiada para la lógica modal wK4 . Por lo tanto, las álgebras derivadas se relacionan con los conjuntos derivados topológicos y wK4 como las álgebras interiores/de clausura se relacionan con los interiores/de clausura topológicos y S4 .
Dada una álgebra derivada V con operador de derivada D , podemos formar un álgebra interior I ( V ) con la misma álgebra booleana subyacente que V , con operadores interiores y de clausura definidos por x I = x · x ′ D ′ y x C = x + x D , respectivamente. Por lo tanto, cada álgebra derivada puede considerarse un álgebra interior. Además, dada una álgebra interior A , tenemos I ( D ( A )) = A . Sin embargo, D ( I ( V )) = V no necesariamente se cumple para cada álgebra derivada V .
La dualidad de Stone proporciona una dualidad teórica de categorías entre las álgebras de Boole y una clase de espacios topológicos conocidos como espacios booleanos . Basándose en ideas nacientes de semántica relacional (posteriormente formalizadas por Kripke ) y un resultado de RS Pierce, Jónsson , Tarski y G. Hansoul, extendió la dualidad de Stone a las álgebras de Boole con operadores al equipar los espacios booleanos con relaciones que corresponden a los operadores a través de una construcción de conjuntos de potencias . En el caso de las álgebras interiores, el operador interior (o de clausura) corresponde a un preorden en el espacio booleano. Los homomorfismos entre álgebras interiores corresponden a una clase de aplicaciones continuas entre los espacios booleanos conocidos como pseudoepimorfismos o p-morfismos para abreviar. Esta generalización de la dualidad de Stone a las álgebras interiores basada en la representación de Jónsson-Tarski fue investigada por Leo Esakia y también se conoce como la dualidad de Esakia para álgebras S4 (álgebras interiores) y está estrechamente relacionada con la dualidad de Esakia para álgebras de Heyting.
Mientras que la generalización de Jónsson-Tarski de la dualidad de Stone se aplica a las álgebras de Boole con operadores en general, la conexión entre las álgebras interiores y la topología permite otro método de generalización de la dualidad de Stone que es exclusivo de las álgebras interiores. Un paso intermedio en el desarrollo de la dualidad de Stone es el teorema de representación de Stone , que representa un álgebra de Boole como un cuerpo de conjuntos . La topología de Stone del espacio booleano correspondiente se genera entonces utilizando el cuerpo de conjuntos como base topológica . Basándose en la semántica topológica introducida por Tang Tsao-Chen para la lógica modal de Lewis, McKinsey y Tarski demostraron que al generar una topología equivalente a utilizar solo los complejos que corresponden a elementos abiertos como base, se obtiene una representación de un álgebra interior como un cuerpo topológico de conjuntos —un cuerpo de conjuntos en un espacio topológico que está cerrado con respecto a la toma de interiores o cierres. Al equipar los campos topológicos de conjuntos con morfismos apropiados conocidos como mapas de campo , C. Naturman demostró que este enfoque puede formalizarse como una dualidad de Stone de teoría de categorías en la que la dualidad de Stone habitual para las álgebras de Boole corresponde al caso de las álgebras interiores que tienen un operador interior redundante (álgebras interiores de Boole).
El preorden obtenido en el enfoque de Jónsson-Tarski corresponde a la relación de accesibilidad en la semántica de Kripke para una teoría S4, mientras que el cuerpo intermedio de conjuntos corresponde a una representación del álgebra de Lindenbaum-Tarski para la teoría que utiliza los conjuntos de mundos posibles en la semántica de Kripke en los que se cumplen las oraciones de la teoría. Pasar del cuerpo de conjuntos a un espacio booleano ofusca un poco esta conexión. Al tratar los cuerpos de conjuntos en preórdenes como una categoría por derecho propio, esta conexión profunda puede formularse como una dualidad teórica de categorías que generaliza la representación de Stone sin topología. R. Goldblatt había demostrado que con restricciones a homomorfismos apropiados, tal dualidad puede formularse para álgebras modales arbitrarias y marcos de Kripke. Naturman demostró que en el caso de álgebras interiores esta dualidad se aplica a topomorfismos más generales y puede factorizarse mediante un funtor teórico de categorías a través de la dualidad con cuerpos topológicos de conjuntos. Estos últimos representan el álgebra de Lindenbaum–Tarski usando conjuntos de puntos que satisfacen oraciones de la teoría S4 en la semántica topológica. El preorden puede obtenerse como el preorden de especialización de la topología McKinsey–Tarski. La dualidad de Esakia puede recuperarse mediante un funtor que reemplaza el cuerpo de conjuntos con el espacio booleano que genera. Mediante un funtor que, en cambio, reemplaza el preorden con su topología de Alexandrov correspondiente, se obtiene una representación alternativa del álgebra interior como un cuerpo de conjuntos donde la topología es la bicorreflexión de Alexandrov de la topología McKinsey–Tarski. G. Bezhanishvili, R. Mines y PJ Morandi han investigado el enfoque de formular una dualidad topológica para álgebras interiores utilizando tanto la topología de Stone del enfoque de Jónsson–Tarski como la topología de Alexandrov del preorden para formar un espacio bi-topológico. La topología McKinsey-Tarski de un álgebra interior es la intersección de las dos topologías anteriores.
Grzegorczyk demostró que la teoría de primer orden de las álgebras de cierre es indecidible . [1] [2] Naturman demostró que la teoría es hereditariamente indecidible (todas sus subteorías son indecidibles) y demostró una cadena infinita de clases elementales de álgebras interiores con teorías hereditariamente indecidibles.
