Campo de conjuntos

Concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos

En matemáticas , un cuerpo de conjuntos es una estructura matemática que consiste en un par formado por un conjunto y una familia de subconjuntos llamado álgebra sobre la que contiene al conjunto vacío como elemento, y está cerrada bajo las operaciones de tomar complementos en uniones finitas e intersecciones finitas . ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

Los cuerpos de conjuntos no deben confundirse con los cuerpos de la teoría de anillos ni con los cuerpos de la física . De manera similar, el término "álgebra sobre " se utiliza en el sentido de un álgebra de Boole y no debe confundirse con álgebras sobre cuerpos o anillos en la teoría de anillos. ${\displaystyle X}$

Los cuerpos de conjuntos desempeñan un papel esencial en la teoría de representación de las álgebras de Boole. Toda álgebra de Boole puede representarse como un cuerpo de conjuntos.

Definiciones

Un campo de conjuntos es un par formado por un conjunto y una familia de subconjuntos llamado álgebra sobre la que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

1. Cerrado bajo complementación en ${\displaystyle X}$ : $${\displaystyle X\setminus F\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F\in {\mathcal {F}}.}$$
2. Contiene el conjunto vacío (o contiene ) ${\displaystyle X}$ como elemento: ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$
   • Suponiendo que (1) se cumple, esta condición (2) es equivalente a: ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}.}$
3. Se cumplen cualquiera o todas las siguientes condiciones equivalentes ^{[nota 1]} :
   1. Cerrado bajo uniones binarias : $${\displaystyle F\cup G\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F,G\in {\mathcal {F}}.}$$
   2. Cerrado bajo intersecciones binarias : $${\displaystyle F\cap G\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F,G\in {\mathcal {F}}.}$$
   3. Cerrado bajo uniones finitas : $${\displaystyle F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ for all integers }}n\geq 1{\text{ and all }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}$$
   4. Cerrado bajo intersecciones finitas : $${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ for all integers }}n\geq 1{\text{ and all }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}$$

En otras palabras, forma una subálgebra del conjunto potencia álgebra de Boole de (con el mismo elemento identidad ). Muchos autores se refieren a sí mismo como un cuerpo de conjuntos. Los elementos de se denominan puntos mientras que los elementos de se denominan complejos y se dice que son los conjuntos admisibles de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Un campo de conjuntos se denomina σ-campo de conjuntos y el álgebra se denomina σ-álgebra si se cumple la siguiente condición adicional (4): ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

4. Se cumplen cualquiera o ambas de las siguientes condiciones equivalentes:
   1. Cerrado bajo uniones contables : para todos $${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \in {\mathcal {F}}}$$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$
   2. Cerrado bajo intersecciones contables : para todos $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal {F}}}$$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$

Cuerpos de conjuntos en la teoría de representaciones de las álgebras de Boole

Representación de piedra

Para un conjunto arbitrario su conjunto potencia (o, de manera un tanto pedante, el par de este conjunto y su conjunto potencia) es un cuerpo de conjuntos. Si es finito (es decir, -elemento), entonces es finito (es decir, -elemento). Parece que todo cuerpo finito de conjuntos (es decir, con finito, mientras que puede ser infinito) admite una representación de la forma con finito ; es decir, una función que establece una correspondencia biunívoca entre y mediante la imagen inversa : donde y (es decir, ). Una consecuencia notable: el número de complejos, si es finito, siempre es de la forma ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$ ${\displaystyle (Y,2^{Y})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,2^{Y})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$ ${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\in 2^{Y}}$ ${\displaystyle B\subset Y}$ ${\displaystyle 2^{n}.}$

Para este fin se elige ser el conjunto de todos los átomos del campo dado de conjuntos, y se define por siempre que para un punto y un complejo sea un átomo; esto último significa que un subconjunto no vacío de distinto de no puede ser un complejo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En otras palabras: los átomos son una partición de ; es el conjunto cociente correspondiente ; y es la sobreyección canónica correspondiente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

De manera similar, cada álgebra booleana finita puede representarse como un conjunto potencia –el conjunto potencia de su conjunto de átomos ; cada elemento del álgebra booleana corresponde al conjunto de átomos que se encuentra debajo de él (cuya unión es el elemento). Esta representación del conjunto potencia puede construirse de manera más general para cualquier álgebra booleana atómica completa .

En el caso de las álgebras de Boole que no son completas ni atómicas, todavía podemos generalizar la representación de conjuntos potencia considerando cuerpos de conjuntos en lugar de conjuntos potencia enteros. Para ello, observamos primero que los átomos de un álgebra de Boole finita corresponden a sus ultrafiltros y que un átomo está por debajo de un elemento de un álgebra de Boole finita si y sólo si ese elemento está contenido en el ultrafiltro correspondiente al átomo. Esto nos lleva a construir una representación de un álgebra de Boole tomando su conjunto de ultrafiltros y formando complejos asociando a cada elemento del álgebra de Boole el conjunto de ultrafiltros que contiene ese elemento. Esta construcción produce de hecho una representación del álgebra de Boole como un cuerpo de conjuntos y se conoce como la representación de Stone . Es la base del teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole y un ejemplo de un procedimiento de completitud en la teoría del orden basado en ideales o filtros , similar a los cortes de Dedekind .

Alternativamente, se puede considerar el conjunto de homomorfismos sobre el álgebra de Boole de dos elementos y formar complejos asociando cada elemento del álgebra de Boole con el conjunto de dichos homomorfismos que lo asignan al elemento superior. (El enfoque es equivalente ya que los ultrafiltros de un álgebra de Boole son precisamente las preimágenes de los elementos superiores bajo estos homomorfismos). Con este enfoque se ve que la representación de Stone también puede considerarse como una generalización de la representación de álgebras de Boole finitas mediante tablas de verdad .

Campos separativos y compactos de conjuntos: hacia la dualidad de Stone

• Un cuerpo de conjuntos se llama separativo (o diferenciado ) si y sólo si para cada par de puntos distintos existe un complejo que contiene a uno y no al otro.
• Un campo de conjuntos se llama compacto si y sólo si para cada filtro propio la intersección de todos los complejos contenidos en el filtro no está vacía. ${\displaystyle X}$

Estas definiciones surgen de considerar la topología generada por los complejos de un cuerpo de conjuntos. (Es sólo una de las topologías notables en el conjunto dado de puntos; a menudo sucede que se da otra topología, con propiedades bastante diferentes, en particular, no cerodimensional). Dado un cuerpo de conjuntos, los complejos forman una base para una topología. Denotamos por el espacio topológico correspondiente, donde es la topología formada al tomar uniones arbitrarias de complejos. Entonces ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es siempre un espacio de dimensión cero .
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es un espacio de Hausdorff si y sólo si es separativo. ${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es un espacio compacto con conjuntos abiertos compactos si y sólo si es compacto. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$es un espacio booleano con conjuntos abiertos y cerrados si y solo si es separativo y compacto (en cuyo caso se describe como descriptivo ) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

La representación de Stone de un álgebra de Boole es siempre separativa y compacta; el espacio de Boole correspondiente se conoce como el espacio de Stone del álgebra de Boole. Los conjuntos clopen del espacio de Stone son entonces precisamente los complejos de la representación de Stone. El área de las matemáticas conocida como dualidad de Stone se basa en el hecho de que la representación de Stone de un álgebra de Boole se puede recuperar puramente a partir del espacio de Stone correspondiente, por lo que existe una dualidad entre las álgebras de Boole y los espacios de Boole.

Campos de conjuntos con estructura adicional

Álgebras sigma y espacios de medida

Si un álgebra sobre un conjunto es cerrada bajo uniones numerables (y por lo tanto también bajo intersecciones numerables ), se denomina álgebra sigma y el cuerpo de conjuntos correspondiente se denomina espacio medible . Los complejos de un espacio medible se denominan conjuntos mesurables . El teorema de Loomis - Sikorski proporciona una dualidad de tipo Stone entre álgebras booleanas completas numerables (que pueden denominarse álgebras sigma abstractas ) y espacios mesurables.

Un espacio de medida es un triplete donde es un espacio medible y es una medida definida en él. Si es de hecho una medida de probabilidad , hablamos de un espacio de probabilidad y llamamos a su espacio medible subyacente un espacio muestral . Los puntos de un espacio muestral se denominan puntos muestrales y representan resultados potenciales, mientras que los conjuntos medibles (complejos) se denominan eventos y representan propiedades de resultados para los que deseamos asignar probabilidades. (Muchos usan el término espacio muestral simplemente para el conjunto subyacente de un espacio de probabilidad, particularmente en el caso en que cada subconjunto es un evento). Los espacios de medida y los espacios de probabilidad juegan un papel fundamental en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad respectivamente. ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

En aplicaciones a la Física a menudo tratamos con espacios de medida y espacios de probabilidad derivados de estructuras matemáticas ricas, tales como espacios de productos internos o grupos topológicos que ya tienen una topología asociada a ellos; esto no debe confundirse con la topología generada al tomar uniones arbitrarias de complejos.

Campos topológicos de conjuntos

Un cuerpo topológico de conjuntos es una terna donde es un espacio topológico y es un cuerpo de conjuntos que está cerrado bajo el operador de clausura de o equivalentemente bajo el operador interior, es decir, la clausura y el interior de cada complejo también es un complejo. En otras palabras, forma una subálgebra del álgebra interior de conjuntos potencia en ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$

Los campos topológicos de conjuntos desempeñan un papel fundamental en la teoría de la representación de las álgebras interiores y las álgebras de Heyting . Estas dos clases de estructuras algebraicas proporcionan la semántica algebraica para la lógica modal S4 (una abstracción matemática formal de la lógica epistémica ) y la lógica intuicionista respectivamente. Los campos topológicos de conjuntos que representan estas estructuras algebraicas proporcionan una semántica topológica relacionada para estas lógicas.

Toda álgebra interior puede representarse como un cuerpo topológico de conjuntos, correspondiendo el álgebra booleana subyacente del álgebra interior a los complejos del cuerpo topológico de conjuntos, y los operadores interiores y de clausura del álgebra interior a los de la topología. Toda álgebra de Heyting puede representarse mediante un cuerpo topológico de conjuntos, correspondiendo el entramado subyacente del álgebra de Heyting al entramado de complejos del cuerpo topológico de conjuntos que están abiertos en la topología. Además, el cuerpo topológico de conjuntos que representa un álgebra de Heyting puede elegirse de modo que los complejos abiertos generen todos los complejos como un álgebra booleana. Estas representaciones relacionadas proporcionan un aparato matemático bien definido para estudiar la relación entre las modalidades de verdad (posiblemente verdaderas frente a necesariamente verdaderas, estudiadas en la lógica modal) y las nociones de demostrabilidad y refutabilidad (estudiadas en la lógica intuicionista) y, por tanto, está profundamente conectada con la teoría de los compañeros modales de las lógicas intermedias .

Dado un espacio topológico, los conjuntos clopen forman trivialmente un cuerpo topológico de conjuntos, ya que cada conjunto clopen es su propio interior y clausura. La representación de Stone de un álgebra de Boole puede considerarse como un cuerpo topológico de conjuntos, sin embargo, en general, la topología de un cuerpo topológico de conjuntos puede diferir de la topología generada al tomar uniones arbitrarias de complejos y, en general, los complejos de un cuerpo topológico de conjuntos no necesitan ser abiertos o cerrados en la topología.

Campos algebraicos de conjuntos y campos de Stone

Un campo topológico de conjuntos se llama algebraico si y sólo si existe una base para su topología que consiste en complejos.

Si un cuerpo topológico de conjuntos es compacto y algebraico, entonces su topología es compacta y sus conjuntos abiertos compactos son precisamente los complejos abiertos. Además, los complejos abiertos forman una base para la topología.

Los campos topológicos de conjuntos que son separativos, compactos y algebraicos se denominan campos de Stone y proporcionan una generalización de la representación de Stone de las álgebras de Boole. Dada un álgebra interior, podemos formar la representación de Stone de su álgebra de Boole subyacente y luego extenderla a un campo topológico de conjuntos tomando la topología generada por los complejos correspondientes a los elementos abiertos del álgebra interior (que forman una base para una topología). Estos complejos son entonces precisamente los complejos abiertos y la construcción produce un campo de Stone que representa el álgebra interior: la representación de Stone . (La topología de la representación de Stone también se conoce como la topología de Stone de McKinsey-Tarski en honor a los matemáticos que generalizaron por primera vez el resultado de Stone para las álgebras de Boole a las álgebras interiores y no debe confundirse con la topología de Stone del álgebra de Boole subyacente del álgebra interior, que será una topología más fina).

Campos de preorden

Un campo de preorden es un triple donde es un conjunto preordenado y es un campo de conjuntos. ${\displaystyle (X,\leq ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Al igual que los campos topológicos de conjuntos, los campos de preorden desempeñan un papel importante en la teoría de representación de las álgebras interiores. Toda álgebra interior puede representarse como un campo de preorden con sus operadores interiores y de clausura correspondientes a los de la topología de Alexandrov inducida por el preorden. En otras palabras, para todos : y ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle \mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}}$$ $${\displaystyle \mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}}$$

De manera similar a los campos topológicos de conjuntos, los campos de preorden surgen naturalmente en la lógica modal donde los puntos representan los mundos posibles en la semántica de Kripke de una teoría en la lógica modal S4 , el preorden representa la relación de accesibilidad en estos mundos posibles en esta semántica, y los complejos representan conjuntos de mundos posibles en los que se cumplen oraciones individuales en la teoría, proporcionando una representación del álgebra de Lindenbaum-Tarski de la teoría. Son un caso especial de los marcos modales generales que son campos de conjuntos con una relación de accesibilidad adicional que proporciona representaciones de álgebras modales.

Campos de preorden algebraicos y canónicos

Un cuerpo de preorden se llama algebraico (o ajustado ) si y solo si tiene un conjunto de complejos que determina el preorden de la siguiente manera: si y solo si para cada complejo , implica . Los cuerpos de preorden obtenidos a partir de teorías S4 son siempre algebraicos, siendo los complejos que determinan el preorden los conjuntos de mundos posibles en los que se cumplen las oraciones de la teoría cerrada por necesidad. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y\in S}$

Se dice que un cuerpo de preorden algebraico compacto separativo es canónico . Dada un álgebra interior, al reemplazar la topología de su representación de Stone con el preorden canónico correspondiente (preorden de especialización) obtenemos una representación del álgebra interior como un cuerpo de preorden canónico. Al reemplazar el preorden por su topología de Alexandrov correspondiente obtenemos una representación alternativa del álgebra interior como un cuerpo topológico de conjuntos. (La topología de esta " representación de Alexandrov " es simplemente la bi-correflexión de Alexandrov de la topología de la representación de Stone). Si bien la representación de álgebras modales mediante marcos modales generales es posible para cualquier álgebra modal normal, es solo en el caso de álgebras interiores (que corresponden a la lógica modal S4 ) que el marco modal general corresponde al cuerpo topológico de conjuntos de esta manera.

Álgebras complejas y cuerpos de conjuntos sobre estructuras relacionales

La representación de álgebras interiores por cuerpos de preorden puede generalizarse a un teorema de representación para álgebras de Boole arbitrarias (normales) con operadores . Para esto, consideramos estructuras donde es una estructura relacional , es decir, un conjunto con una familia indexada de relaciones definidas en él, y es un cuerpo de conjuntos. El álgebra compleja (o álgebra de complejos ) determinada por un cuerpo de conjuntos en una estructura relacional, es el álgebra de Boole con operadores donde para todo si es una relación de aridad entonces es un operador de aridad y para todo ${\displaystyle (X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,(R_{i})_{I})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,\left(R_{i}\right)_{I},{\mathcal {F}})}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=({\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I})}$$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle n+1,}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\left\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\right\}}$$

Esta construcción se puede generalizar a cuerpos de conjuntos en estructuras algebraicas arbitrarias que tengan tanto operadores como relaciones, ya que los operadores pueden considerarse un caso especial de relaciones. Si es el conjunto potencia de , entonces se denomina álgebra compleja completa o álgebra de potencia . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}$

Toda álgebra booleana (normal) con operadores puede representarse como un campo de conjuntos en una estructura relacional en el sentido de que es isomorfa al álgebra compleja correspondiente al campo.

(Históricamente, el término complejo se utilizó por primera vez en el caso en que la estructura algebraica era un grupo y tiene sus orígenes en la teoría de grupos del siglo XIX , donde un subconjunto de un grupo se llamaba complejo ).

Véase también

• Topología de Alexandrov  : topología en la que la intersección de cualquier familia de conjuntos abiertos es abierta.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Anillo booleano  : concepto matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Marco general
• Álgebra interior  – Estructura algebraica
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Lista de temas de álgebra de Boole
• Teoría de la medida  : generalización de la masa, longitud, área y volumenPages displaying short descriptions of redirect targets
• Clase monótona  – teoremaPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Campo preordenado  : objeto algebraico con una estructura ordenadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría de la probabilidad  – Rama de las matemáticas que se ocupa de la probabilidad.
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Función de conjunto  : Función de conjuntos a números
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• Sigma-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables
• Anillo 𝜎  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables
• Dualidad de piedra  – Relación entre ciertas categorías
• Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole  : toda álgebra de Boole es isomorfa a un determinado cuerpo de conjuntos

Notas

1. Las afirmaciones enumeradas son equivalentes si (1) y (2) son válidas. La equivalencia de las afirmaciones (a) y (b) se desprende de las leyes de De Morgan . Esto también es cierto respecto de la equivalencia de las afirmaciones (c) y (d).

Referencias

• Goldblatt, R. , Lógica polimodal algebraica: un estudio , Logic Journal of the IGPL, volumen 8, número 4, págs. 393-450, julio de 2000
• Goldblatt, R., Variedades de álgebras complejas , Anales de lógica pura y aplicada, 44, pág. 173-242, 1989
• Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.
• Naturman, CA, Álgebras interiores y topología , tesis doctoral, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ciudad del Cabo, 1991
• Patrick Blackburn, Johan FAK van Benthem, Frank Wolter ed., Manual de lógica modal, volumen 3 de Estudios en lógica y razonamiento práctico , Elsevier, 2006

Enlaces externos

• "Álgebra de conjuntos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Álgebra de conjuntos, Enciclopedia de Matemáticas.