Lógica filosófica

Aplicación de métodos lógicos a problemas filosóficos

Entendida en un sentido estricto, la lógica filosófica es el área de la lógica que estudia la aplicación de métodos lógicos a problemas filosóficos , a menudo en forma de sistemas lógicos extendidos como la lógica modal . Algunos teóricos conciben la lógica filosófica en un sentido más amplio como el estudio del alcance y la naturaleza de la lógica en general. En este sentido, la lógica filosófica puede verse como idéntica a la filosofía de la lógica , que incluye temas adicionales como cómo definir la lógica o una discusión de los conceptos fundamentales de la lógica. El presente artículo trata la lógica filosófica en sentido estricto, en el que forma un campo de investigación dentro de la filosofía de la lógica.

Una cuestión importante para la lógica filosófica es la cuestión de cómo clasificar la gran variedad de sistemas lógicos no clásicos , muchos de los cuales son de origen bastante reciente. Una forma de clasificación que se encuentra a menudo en la literatura es distinguir entre lógicas extendidas y lógicas desviadas. La lógica en sí puede definirse como el estudio de la inferencia válida . La lógica clásica es la forma dominante de lógica y articula reglas de inferencia de acuerdo con intuiciones lógicas compartidas por muchos, como la ley del tercio excluido , la eliminación de la doble negación y la bivalencia de la verdad.

Las lógicas extendidas son sistemas lógicos que se basan en la lógica clásica y sus reglas de inferencia pero la extienden a nuevos campos mediante la introducción de nuevos símbolos lógicos y las reglas de inferencia correspondientes que gobiernan estos símbolos. En el caso de la lógica modal alética , estos nuevos símbolos se utilizan para expresar no solo lo que es verdad simpliciter , sino también lo que es posible o necesariamente verdadero . A menudo se combina con la semántica de mundos posibles, que sostiene que una proposición es posiblemente verdadera si es verdadera en algún mundo posible, mientras que es necesariamente verdadera si es verdadera en todos los mundos posibles. La lógica deóntica pertenece a la ética y proporciona un tratamiento formal de nociones éticas, como la obligación y el permiso . La lógica temporal formaliza las relaciones temporales entre proposiciones. Esto incluye ideas como si algo es verdad en algún momento o todo el tiempo y si es verdad en el futuro o en el pasado. La lógica epistémica pertenece a la epistemología . Puede usarse para expresar no solo lo que es el caso, sino también lo que alguien cree o sabe que es el caso. Sus reglas de inferencia articulan lo que se sigue del hecho de que alguien tenga este tipo de estados mentales . Las lógicas de orden superior no aplican directamente la lógica clásica a ciertos subcampos nuevos dentro de la filosofía, sino que la generalizan al permitir la cuantificación no solo sobre individuos sino también sobre predicados.

Las lógicas desviadas , en contraste con estas formas de lógica extendida, rechazan algunos de los principios fundamentales de la lógica clásica y a menudo se las considera sus rivales. La lógica intuicionista se basa en la idea de que la verdad depende de la verificación mediante una prueba. Esto la lleva a rechazar ciertas reglas de inferencia encontradas en la lógica clásica que no son compatibles con este supuesto. La lógica libre modifica la lógica clásica para evitar presuposiciones existenciales asociadas con el uso de términos singulares posiblemente vacíos, como nombres y descripciones definidas. Las lógicas polivalentes permiten valores de verdad adicionales además de verdadero y falso . Por lo tanto, rechazan el principio de bivalencia de la verdad. Las lógicas paraconsistentes son sistemas lógicos capaces de lidiar con las contradicciones. Lo hacen evitando el principio de explosión que se encuentra en la lógica clásica. La lógica de relevancia es una forma destacada de lógica paraconsistente. Rechaza la interpretación puramente veritativo-funcional del condicional material al introducir el requisito adicional de relevancia: para que el condicional sea verdadero, su antecedente debe ser relevante para su consecuente.

Definición y campos relacionados

El término "lógica filosófica" es utilizado por diferentes teóricos de maneras ligeramente diferentes. ^[1] Cuando se entiende en un sentido estricto, como se analiza en este artículo, la lógica filosófica es el área de la filosofía que estudia la aplicación de métodos lógicos a problemas filosóficos. Esto suele ocurrir en forma de desarrollo de nuevos sistemas lógicos para extender la lógica clásica a nuevas áreas o para modificarla para incluir ciertas intuiciones lógicas que la lógica clásica no aborda adecuadamente. ^{[2] [1] [3] [4]} En este sentido, la lógica filosófica estudia varias formas de lógicas no clásicas, como la lógica modal y la lógica deóntica. De esta manera, varios conceptos filosóficos fundamentales, como la posibilidad, la necesidad, la obligación, el permiso y el tiempo, se tratan de una manera lógicamente precisa al expresar formalmente los roles inferenciales que desempeñan en relación con los demás. ^{[5] [4] [1] [3]} Algunos teóricos entienden la lógica filosófica en un sentido más amplio como el estudio del alcance y la naturaleza de la lógica en general. Desde este punto de vista, investiga varios problemas filosóficos planteados por la lógica, incluidos los conceptos fundamentales de la lógica. En este sentido más amplio, puede entenderse como idéntica a la filosofía de la lógica , donde se discuten estos temas. ^{[6] [7] [8] [1]} El presente artículo discute solo la concepción estrecha de la lógica filosófica. En este sentido, forma un área de la filosofía de la lógica. ^[1]

Un aspecto central de la lógica filosófica es la comprensión de qué es la lógica y qué papel desempeñan las lógicas filosóficas en ella. La lógica puede definirse como el estudio de inferencias válidas. ^{[4] [6] [9]} Una inferencia es el paso del razonamiento en el que se pasa de las premisas a una conclusión. ^[10] A menudo también se utiliza el término "argumento" en su lugar. Una inferencia es válida si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. En este sentido, la verdad de las premisas asegura la verdad de la conclusión. ^{[11] [10] [12] [1]} Esto puede expresarse en términos de reglas de inferencia : una inferencia es válida si su estructura, es decir, la forma en que se forman sus premisas y su conclusión, sigue una regla de inferencia. ^[4] Los diferentes sistemas de lógica proporcionan diferentes explicaciones de cuándo una inferencia es válida. Esto significa que utilizan diferentes reglas de inferencia. El enfoque tradicionalmente dominante de la validez se llama lógica clásica. Pero la lógica filosófica se ocupa de la lógica no clásica: estudia sistemas alternativos de inferencia. ^{[2] [1] [3] [4]} Las motivaciones para hacerlo pueden dividirse, a grandes rasgos, en dos categorías. Para algunos, la lógica clásica es demasiado estrecha: deja fuera muchos temas filosóficamente interesantes. Esto se puede resolver ampliando la lógica clásica con símbolos adicionales para dar un tratamiento lógicamente estricto de otras áreas. ^{[6] [13] [14]} Otros ven algún defecto en la lógica clásica en sí y tratan de dar una explicación rival de la inferencia. Esto suele conducir al desarrollo de lógicas desviadas, cada una de las cuales modifica los principios fundamentales de la lógica clásica para rectificar sus supuestos defectos. ^{[6] [13] [14]}

Clasificación de las lógicas

Los desarrollos modernos en el área de la lógica han resultado en una gran proliferación de sistemas lógicos. ^[13] Esto contrasta marcadamente con el predominio histórico de la lógica aristotélica , que fue tratada como el único canon de la lógica durante más de dos mil años. ^[1] Los tratados sobre lógica moderna a menudo tratan estos diferentes sistemas como una lista de temas separados sin proporcionar una clasificación clara de ellos. Sin embargo, una clasificación mencionada con frecuencia en la literatura académica se debe a Susan Haack y distingue entre lógica clásica , lógicas extendidas y lógicas desviadas . ^{[6] [13] [15]} Esta clasificación se basa en la idea de que la lógica clásica, es decir, la lógica proposicional y la lógica de primer orden, formaliza algunas de las intuiciones lógicas más comunes. En este sentido, constituye una explicación básica de los axiomas que gobiernan la inferencia válida. ^{[4] [9]} Las lógicas extendidas aceptan esta explicación básica y la extienden a áreas adicionales. Esto generalmente sucede agregando nuevo vocabulario, por ejemplo, para expresar necesidad, obligación o tiempo. ^{[13] [1] [4] [9]} Estos nuevos símbolos se integran entonces en el mecanismo lógico especificando qué nuevas reglas de inferencia se aplican a ellos, como si la posibilidad se dedujera de la necesidad. ^{[15] [13]} Las lógicas desviadas, por otra parte, rechazan algunos de los supuestos básicos de la lógica clásica. En este sentido, no son meras extensiones de ella, sino que a menudo se formulan como sistemas rivales que ofrecen una explicación diferente de las leyes de la lógica. ^{[13] [15]}

Expresada en un lenguaje más técnico, la distinción entre lógica extendida y desviada a veces se traza de una manera ligeramente diferente. En esta perspectiva, una lógica es una extensión de la lógica clásica si se cumplen dos condiciones: (1) todas las fórmulas bien formadas de la lógica clásica también son fórmulas bien formadas en ella y (2) todas las inferencias válidas en la lógica clásica también son inferencias válidas en ella. ^{[13] [15] [16]} Para una lógica desviada, por otro lado, (a) su clase de fórmulas bien formadas coincide con la de la lógica clásica, mientras que (b) algunas inferencias válidas en la lógica clásica no son inferencias válidas en ella. ^{[13] [15] [17]} El término lógica cuasi-desviada se usa si (i) introduce un nuevo vocabulario pero todas las fórmulas bien formadas de la lógica clásica también son fórmulas bien formadas en ella y (ii) incluso cuando se restringe a inferencias que usan solo el vocabulario de la lógica clásica, algunas inferencias válidas en la lógica clásica no son inferencias válidas en ella. ^{[13] [15]} El término "lógica desviada" se utiliza a menudo en un sentido que incluye también lógicas cuasi desviadas. ^[13]

Un problema filosófico que plantea esta pluralidad de lógicas se refiere a la cuestión de si puede haber más de una lógica verdadera. ^{[13] [1]} Algunos teóricos favorecen un enfoque local en el que se aplican diferentes tipos de lógica a diferentes áreas. Los primeros intuicionistas, por ejemplo, vieron la lógica intuicionista como la lógica correcta para las matemáticas, pero permitieron la lógica clásica en otros campos. ^{[13] [18]} Pero otros, como Michael Dummett , prefieren un enfoque global al sostener que la lógica intuicionista debería reemplazar a la lógica clásica en todas las áreas. ^{[13] [18]} El monismo es la tesis de que solo hay una lógica verdadera. ^[6] Esto puede entenderse de diferentes maneras, por ejemplo, que solo uno de todos los sistemas lógicos sugeridos es correcto o que el sistema lógico correcto aún no se ha encontrado como un sistema subyacente y unificador de todas las diferentes lógicas. ^[1] Los pluralistas, por otro lado, sostienen que una variedad de diferentes sistemas lógicos pueden ser todos correctos al mismo tiempo. ^{[19] [6] [1]}

Un problema estrechamente relacionado se refiere a la cuestión de si todos estos sistemas formales constituyen en realidad sistemas lógicos . ^{[1] [4]} Esto es especialmente relevante para las lógicas desviadas que se alejan mucho de las intuiciones lógicas comunes asociadas con la lógica clásica. En este sentido, se ha argumentado, por ejemplo, que la lógica difusa es una lógica solo de nombre, pero que debería considerarse un sistema formal no lógico, ya que la idea de grados de verdad está demasiado alejada de las intuiciones lógicas más fundamentales. ^{[13] [20] [4]} Por lo tanto, no todo el mundo está de acuerdo en que todos los sistemas formales analizados en este artículo constituyan en realidad lógicas , cuando se entienden en un sentido estricto.

Lógica clásica

La lógica clásica es la forma dominante de lógica utilizada en la mayoría de los campos. ^[21] El término se refiere principalmente a la lógica proposicional y la lógica de primer orden . ^[6] La lógica clásica no es un tema independiente dentro de la lógica filosófica. Pero aún se requiere una buena familiaridad con ella, ya que muchos de los sistemas lógicos de interés directo para la lógica filosófica pueden entenderse como extensiones de la lógica clásica, que aceptan sus principios fundamentales y se basan en ellos, o como modificaciones de ella, rechazando algunos de sus supuestos centrales. ^{[5] [14]} La lógica clásica se creó inicialmente para analizar argumentos matemáticos y se aplicó a varios otros campos solo después. ^[5] Por esta razón, descuida muchos temas de importancia filosófica que no son relevantes para las matemáticas, como la diferencia entre necesidad y posibilidad, entre obligación y permiso, o entre pasado, presente y futuro. ^[5] Estos y otros temas similares reciben un tratamiento lógico en las diferentes lógicas filosóficas que extienden la lógica clásica. ^{[14] [1] [3]} La lógica clásica por sí sola solo se ocupa de unos pocos conceptos básicos y del papel que estos conceptos juegan para hacer inferencias válidas. ^[22] Los conceptos pertenecientes a la lógica proposicional incluyen conectivos proposicionales, como "y", "o" y "si-entonces". ^[4] Una característica del enfoque clásico de estos conectivos es que siguen ciertas leyes, como la ley del tercero excluido , la eliminación de la doble negación , el principio de explosión y la bivalencia de la verdad. ^[21] Esto distingue a la lógica clásica de varias lógicas desviadas, que niegan uno o varios de estos principios. ^{[13] [5]}

En la lógica de primer orden , las proposiciones mismas están formadas por partes subproposicionales, como predicados , términos singulares y cuantificadores . ^{[8] [23]} Los términos singulares se refieren a objetos y los predicados expresan propiedades de los objetos y relaciones entre ellos. ^{[8] [24]} Los cuantificadores constituyen un tratamiento formal de nociones como "para algunos" y "para todos". Pueden usarse para expresar si los predicados tienen una extensión o si su extensión incluye todo el dominio. ^[25] La cuantificación solo se permite sobre términos individuales pero no sobre predicados, a diferencia de la lógica de orden superior. ^{[26] [4]}

Lógica extendida

Modalidad alética

La lógica modal alética ha sido muy influyente en la lógica y la filosofía. Proporciona un formalismo lógico para expresar lo que es posible o necesariamente verdadero . ^{[12] [9] [27] [28] [29] [30] [14]} Constituye una extensión de la lógica de primer orden, que por sí misma solo es capaz de expresar lo que es verdadero simpliciter . Esta extensión se produce mediante la introducción de dos nuevos símbolos: " " ${\displaystyle \Diamond }$ para posibilidad y " " ${\displaystyle \Box }$ para necesidad. Estos símbolos se utilizan para modificar proposiciones. Por ejemplo, si " " ${\displaystyle W(s)}$ representa la proposición "Sócrates es sabio", entonces " " ${\displaystyle \Diamond W(s)}$ expresa la proposición "es posible que Sócrates sea sabio". Para integrar estos símbolos en el formalismo lógico, se añaden varios axiomas a los axiomas existentes de la lógica de primer orden. ^{[27] [28] [30]} Estos gobiernan el comportamiento lógico de estos símbolos al determinar cómo la validez de una inferencia depende del hecho de que estos símbolos se encuentren en ella. Por lo general, incluyen la idea de que si una proposición es necesaria, entonces su negación es imposible, es decir, que " " ${\displaystyle \Box A}$ es equivalente a " " ${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$ . Otro principio de este tipo es que si algo es necesario, entonces también debe ser posible. Esto significa que " " ${\displaystyle \Diamond A}$ se sigue de " " ${\displaystyle \Box A}$ . ^{[27] [28] [30]} Hay desacuerdo sobre exactamente qué axiomas gobiernan la lógica modal. Las diferentes formas de lógica modal a menudo se presentan como una jerarquía anidada de sistemas en la que los sistemas más fundamentales, como el sistema K , incluyen solo los axiomas más fundamentales, mientras que otros sistemas, como el popular sistema S5 , se basan en él incluyendo axiomas adicionales. ^{[27] [28] [30]} En este sentido, el sistema K es una extensión de la lógica de primer orden, mientras que el sistema S5 es una extensión del sistema K. Las discusiones importantes dentro de la lógica filosófica se refieren a la cuestión de qué sistema de lógica modal es correcto. ^{[27] [28] [30]} Por lo general, es ventajoso tener el sistema más fuerte posible para poder extraer muchas inferencias diferentes. Pero esto trae consigo el problema de que algunas de estas inferencias adicionales pueden contradecir intuiciones modales básicas en casos específicos. Esto suele motivar la elección de un sistema de axiomas más básico. ^{[27] [28] [30]}

La semántica de mundos posibles es una semántica formal muy influyente en la lógica modal que trae consigo el sistema S5. ^{[27] [28] [30]} Una semántica formal de un lenguaje caracteriza las condiciones bajo las cuales las oraciones de este lenguaje son verdaderas o falsas. La semántica formal juega un papel central en la concepción de validez de la teoría de modelos . ^{[4] [10]} Son capaces de proporcionar criterios claros para cuando una inferencia es válida o no: una inferencia es válida si y solo si preserva la verdad, es decir, si siempre que sus premisas sean verdaderas, entonces su conclusión también es verdadera. ^{[9] [10] [31]} Si son verdaderas o falsas está especificado por la semántica formal. La semántica de mundos posibles especifica las condiciones de verdad de las oraciones expresadas en la lógica modal en términos de mundos posibles. ^{[27] [28] [30]} Un mundo posible es una forma completa y consistente de cómo podrían haber sido las cosas. ^{[32] [33]} Desde este punto de vista, una oración modificada por el operador - es verdadera si es verdadera en al menos un mundo posible, mientras que una oración modificada por el operador - es verdadera si es verdadera en todos los mundos posibles. ^{[27] [28] [30]} Por lo tanto, la oración " " (es posible que Sócrates sea sabio) es verdadera ya que hay al menos un mundo donde Sócrates es sabio. Pero " " (es necesario que Sócrates sea sabio) es falsa ya que Sócrates no es sabio en todos los mundos posibles. La semántica de los mundos posibles ha sido criticada como una semántica formal de la lógica modal ya que parece ser circular. ^[8] La razón de esto es que los mundos posibles se definen en términos modales, es decir, como formas en que las cosas podrían haber sido. De esta manera, utiliza expresiones modales para determinar la verdad de oraciones que contienen expresiones modales. ^[8] ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond W(s)}$ ${\displaystyle \Box W(s)}$

Deóntico

La lógica deóntica extiende la lógica clásica al campo de la ética . ^{[34] [14] [35]} De importancia central en la ética son los conceptos de obligación y permiso , es decir, qué acciones el agente tiene que hacer o se le permite hacer. La lógica deóntica suele expresar estas ideas con los operadores y . ^{[34] [14] [35] [27]} Así que si " " representa la proposición "Ramírez va a trotar", entonces " " significa que Ramírez tiene la obligación de ir a trotar y " " significa que Ramírez tiene el permiso para ir a trotar. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle J(r)}$ ${\displaystyle OJ(r)}$ ${\displaystyle PJ(r)}$

La lógica deóntica está estrechamente relacionada con la lógica modal alética en que los axiomas que gobiernan el comportamiento lógico de sus operadores son idénticos. Esto significa que la obligación y el permiso se comportan con respecto a la inferencia válida de la misma manera que lo hacen la necesidad y la posibilidad. ^{[34] [14] [35] [27]} Por esta razón, a veces incluso se utilizan los mismos símbolos como operadores. ^[36] Al igual que en la lógica modal alética, existe una discusión en lógica filosófica sobre cuál es el sistema correcto de axiomas para expresar las intuiciones comunes que gobiernan las inferencias deónticas. ^{[34] [14] [35]} Pero los argumentos y contraejemplos aquí son ligeramente diferentes ya que los significados de estos operadores difieren. Por ejemplo, una intuición común en ética es que si el agente tiene la obligación de hacer algo, entonces automáticamente también tiene el permiso para hacerlo. Esto puede expresarse formalmente a través del esquema axiomático " " ${\displaystyle OA\to PA}$ . ^{[34] [14] [35]} Otra cuestión de interés para la lógica filosófica se refiere a la relación entre la lógica modal alética y la lógica deóntica. Un principio que se discute a menudo a este respecto es que el deber implica poder . Esto significa que el agente sólo puede tener la obligación de hacer algo si le es posible hacerlo. ^{[37] [38]} Expresado formalmente: " " ${\displaystyle OA\to \Diamond A}$ . ^[34]

Temporal

La lógica temporal , o lógica temporal, utiliza mecanismos lógicos para expresar relaciones temporales. ^{[39] [14] [35] [40]} En su forma más simple, contiene un operador para expresar que algo sucedió en un momento dado y otro para expresar que algo está sucediendo todo el tiempo. Estos dos operadores se comportan de la misma manera que los operadores de posibilidad y necesidad en la lógica modal alética. Dado que la diferencia entre pasado y futuro es de importancia central para los asuntos humanos, estos operadores a menudo se modifican para tener en cuenta esta diferencia. La lógica temporal de Arthur Prior , por ejemplo, realiza esta idea utilizando cuatro operadores de este tipo: (fue el caso que...), (será el caso que...), (siempre ha sido el caso que...), y (siempre será el caso que...). ^{[39] [14] [35] [40]} Entonces, para expresar que siempre lloverá en Londres, se podría usar " " . Se utilizan varios axiomas para determinar qué inferencias son válidas dependiendo de los operadores que aparecen en ellos. Según ellos, por ejemplo, se puede deducir " " (lloverá en Londres en algún momento) de " " . En formas más complicadas de lógica temporal, también se definen operadores binarios que vinculan dos proposiciones, por ejemplo, para expresar que algo sucede hasta que sucede otra cosa. ^[39] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(Rainy(london))}$ ${\displaystyle F(Rainy(london))}$ ${\displaystyle G(Rainy(london))}$

La lógica modal temporal se puede traducir a la lógica clásica de primer orden tratando el tiempo en forma de un término singular e incrementando la aridad de los predicados en uno. ^[40] Por ejemplo, la oración de lógica temporal " " ${\displaystyle dark\land P(light)\land F(light)}$ (está oscuro, había luz y volverá a haber luz) se puede traducir a la lógica pura de primer orden como " " ${\displaystyle dark(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}<t_{1}\land light(t_{0}))\land \exists t_{2}(t_{1}<t_{2}\land light(t_{2}))}$ . ^[41] Si bien a menudo se ven enfoques similares en física, los lógicos generalmente prefieren un tratamiento autónomo del tiempo en términos de operadores. Esto también es más cercano a los lenguajes naturales, que en su mayoría usan la gramática, por ejemplo conjugando verbos, para expresar el pasado o el futuro de los eventos. ^[40]

Epistémico

La lógica epistémica es una forma de lógica modal aplicada al campo de la epistemología . ^{[42] [43] [35] [9]} Su objetivo es capturar la lógica del conocimiento y la creencia . Los operadores modales que expresan conocimiento y creencia generalmente se expresan a través de los símbolos " " ${\displaystyle K}$ y " " ${\displaystyle B}$ . Entonces, si " " ${\displaystyle W(s)}$ representa la proposición "Sócrates es sabio", entonces " " ${\displaystyle KW(s)}$ expresa la proposición "el agente sabe que Sócrates es sabio" y " " ${\displaystyle BW(s)}$ expresa la proposición "el agente cree que Sócrates es sabio". Los axiomas que gobiernan estos operadores se formulan entonces para expresar varios principios epistémicos. ^{[35] [42] [43]} Por ejemplo, el esquema axiomático " " ${\displaystyle KA\to A}$ expresa que siempre que algo se sabe, entonces es verdadero. Esto refleja la idea de que uno solo puede saber lo que es verdadero, de lo contrario no es conocimiento sino otro estado mental. ^{[35] [42] [43]} Otra intuición epistémica sobre el conocimiento se refiere al hecho de que cuando el agente sabe algo, también sabe que lo sabe. Esto puede expresarse mediante el esquema axiomático " " ${\displaystyle KA\to KKA}$ . ^{[35] [42] [43]} Un principio adicional que vincula el conocimiento y la creencia establece que el conocimiento implica creencia, es decir " " ${\displaystyle KA\to BA}$ . La lógica epistémica dinámica es una forma distinta de lógica epistémica que se centra en situaciones en las que se producen cambios en la creencia y el conocimiento. ^[44]

De orden superior

Las lógicas de orden superior extienden la lógica de primer orden al incluir nuevas formas de cuantificación . ^{[12] [26] [45] [46]} En la lógica de primer orden, la cuantificación está restringida a términos singulares. Puede usarse para hablar sobre si un predicado tiene una extensión o si su extensión incluye todo el dominio. De esta manera, se pueden expresar proposiciones como " " ${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$ ( hay algunas manzanas que son dulces). En las lógicas de orden superior, la cuantificación está permitida no solo sobre términos individuales sino también sobre predicados. De esta manera, es posible expresar, por ejemplo, si ciertos individuos comparten algunos o todos sus predicados, como en " " ${\displaystyle \exists Q(Q(mary)\land Q(john))}$ ( hay algunas cualidades que comparten María y Juan). ^{[12] [26] [45] [46]} Debido a estos cambios, las lógicas de orden superior tienen más poder expresivo que la lógica de primer orden. Esto puede ser útil para las matemáticas de varias maneras, ya que diferentes teorías matemáticas tienen una expresión mucho más simple en la lógica de orden superior que en la lógica de primer orden. ^[12] Por ejemplo, la aritmética de Peano y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel necesitan una cantidad infinita de axiomas para expresarse en lógica de primer orden, pero pueden expresarse en lógica de segundo orden con solo unos pocos axiomas. ^[12]

Pero a pesar de esta ventaja, la lógica de primer orden todavía se usa mucho más ampliamente que la lógica de orden superior. Una razón para esto es que la lógica de orden superior es incompleta . ^[12] Esto significa que, para las teorías formuladas en lógica de orden superior, no es posible probar cada oración verdadera perteneciente a la teoría en cuestión. ^[4] Otra desventaja está relacionada con los compromisos ontológicos adicionales de las lógicas de orden superior. A menudo se sostiene que el uso del cuantificador existencial trae consigo un compromiso ontológico con las entidades sobre las que se extiende este cuantificador. ^{[9] [47] [48] [49]} En la lógica de primer orden, esto solo concierne a los individuos, lo que generalmente se ve como un compromiso ontológico no problemático. En la lógica de orden superior, la cuantificación también concierne a las propiedades y relaciones. ^{[9] [26] [6]} Esto a menudo se interpreta en el sentido de que la lógica de orden superior trae consigo una forma de platonismo , es decir, la visión de que existen propiedades y relaciones universales además de los individuos. ^{[12] [45]}

Lógicas desviadas

Intuicionista

La lógica intuicionista es una versión más restringida de la lógica clásica. ^{[18] [50] [14]} Es más restringida en el sentido de que ciertas reglas de inferencia utilizadas en la lógica clásica no constituyen inferencias válidas en ella. Esto concierne específicamente a la ley del tercio excluido y la eliminación de la doble negación . ^{[18] [50] [14]} La ley del tercio excluido establece que para cada oración, ella o su negación son verdaderas. Expresado formalmente: La ley de eliminación de la doble negación establece que si una oración no es no verdadera, entonces es verdadera, es decir, " " . ^{[18] [14]} Debido a estas restricciones, muchas pruebas son más complicadas y algunas pruebas que de otra manera serían aceptadas se vuelven imposibles. ^[50] ${\displaystyle A\lor \lnot A}$ ${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

Estas modificaciones de la lógica clásica están motivadas por la idea de que la verdad depende de la verificación mediante una prueba . Esto se ha interpretado en el sentido de que "verdadero" significa "verificable". ^{[50] [14]} Originalmente solo se aplicó al área de las matemáticas, pero desde entonces se ha utilizado también en otras áreas. ^[18] En esta interpretación, la ley del tercio excluido implicaría la suposición de que todo problema matemático tiene una solución en forma de prueba. En este sentido, el rechazo intuicionista de la ley del tercio excluido está motivado por el rechazo de esta suposición. ^{[18] [14]} Esta posición también puede expresarse afirmando que no existen verdades inexperimentadas o que trasciendan la verificación. ^[50] En este sentido, la lógica intuicionista está motivada por una forma de idealismo metafísico. Aplicada a las matemáticas, afirma que los objetos matemáticos existen solo en la medida en que se construyen en la mente. ^[50]

Gratis

La lógica libre rechaza algunas de las presuposiciones existenciales que se encuentran en la lógica clásica. ^{[51] [52] [53]} En la lógica clásica, cada término singular tiene que denotar un objeto en el dominio de la cuantificación. ^[51] Esto suele entenderse como un compromiso ontológico con la existencia de la entidad nombrada. Pero en el discurso cotidiano se utilizan muchos nombres que no se refieren a entidades existentes, como "Papá Noel" o "Pegaso". Esto amenaza con excluir esas áreas del discurso de un tratamiento lógico estricto. La lógica libre evita estos problemas al permitir fórmulas con términos singulares no denotativos. ^[52] Esto se aplica tanto a los nombres propios como a las descripciones definidas y expresiones funcionales. ^{[51] [53]} Los cuantificadores, por otro lado, se tratan de la forma habitual como si se extendieran por el dominio. Esto permite que expresiones como " " ${\displaystyle \lnot \exists x(x=santa)}$ (Papá Noel no existe) sean verdaderas aunque sean autocontradictorias en la lógica clásica. ^[51] Esto también trae consigo la consecuencia de que ciertas formas válidas de inferencia que se encuentran en la lógica clásica no son válidas en la lógica libre. Por ejemplo, uno puede inferir de " " ${\displaystyle Beard(santa)}$ (Papá Noel tiene barba) que " " ${\displaystyle \exists x(Beard(x))}$ (algo tiene barba) en la lógica clásica pero no en la lógica libre. ^[51] En la lógica libre, a menudo se utiliza un predicado de existencia para indicar si un término singular denota un objeto en el dominio o no. Pero el uso de predicados de existencia es controvertido. A menudo se oponen a ellos, basándose en la idea de que la existencia es necesaria para que cualquier predicado se aplique al objeto. En este sentido, la existencia en sí misma no puede ser un predicado. ^{[9] [54] [55]}

Karel Lambert , que acuñó el término "lógica libre", ha sugerido que la lógica libre puede entenderse como una generalización de la lógica de predicados clásica, así como la lógica de predicados es una generalización de la lógica aristotélica. Según esta perspectiva, la lógica de predicados clásica introduce predicados con una extensión vacía, mientras que la lógica libre introduce términos singulares de cosas inexistentes. ^[51]

Un problema importante para la lógica libre consiste en cómo determinar el valor de verdad de expresiones que contienen términos singulares vacíos, es decir, de formular una semántica formal para la lógica libre. ^[56] La semántica formal de la lógica clásica puede definir la verdad de sus expresiones en términos de su denotación. Pero esta opción no se puede aplicar a todas las expresiones en lógica libre ya que no todas ellas tienen una denotación. ^[56] A menudo se discuten en la literatura tres enfoques generales para esta cuestión: semántica negativa , semántica positiva y semántica neutral . ^[53] La semántica negativa sostiene que todas las fórmulas atómicas que contienen términos vacíos son falsas. En este punto de vista, la expresión " " ${\displaystyle Beard(santa)}$ es falsa. ^{[56] [53]} La semántica positiva permite que al menos algunas expresiones con términos vacíos sean verdaderas. Esto generalmente incluye declaraciones de identidad, como " " ${\displaystyle santa=santa}$ . Algunas versiones introducen un segundo dominio externo para objetos inexistentes, que luego se utiliza para determinar los valores de verdad correspondientes. ^{[56] [53]} La semántica neutral , por otro lado, sostiene que las fórmulas atómicas que contienen términos vacíos no son ni verdaderas ni falsas. ^{[56] [53]} Esto a menudo se entiende como una lógica de tres valores , es decir, que se introduce un tercer valor de verdad además de verdadero y falso para estos casos. ^[57]

De muchos valores

Las lógicas polivalentes son lógicas que admiten más de dos valores de verdad. ^{[58] [14] [59]} Rechazan uno de los supuestos básicos de la lógica clásica: el principio de la bivalencia de la verdad. Las versiones más simples de las lógicas polivalentes son las lógicas trivalentes: contienen un tercer valor de verdad. En la lógica trivalente de Stephen Cole Kleene , por ejemplo, este tercer valor de verdad es "indefinido". ^{[58] [59]} Según la lógica tetravalente de Nuel Belnap , hay cuatro posibles valores de verdad: "verdadero", "falso", "ni verdadero ni falso" y "tanto verdadero como falso". Esto puede interpretarse, por ejemplo, como una indicación de la información que uno tiene sobre si se obtiene un estado: información de que se obtiene, información de que no se obtiene, ninguna información e información conflictiva. ^[58] Una de las formas más extremas de la lógica polivalente es la lógica difusa. Permite que la verdad surja en cualquier grado entre 0 y 1. ^{[60] [58] [14]} 0 corresponde a completamente falso, 1 corresponde a completamente verdadero y los valores intermedios corresponden a la verdad en algún grado, por ejemplo, como un poco verdadero o muy verdadero. ^{[60] [58]} A menudo se utiliza para tratar con expresiones vagas en lenguaje natural. Por ejemplo, decir que "Petr es joven" encaja mejor (es decir, es "más verdadero") si "Petr" se refiere a un niño de tres años que si se refiere a un joven de 23 años. ^[60] Las lógicas multivaluadas con un número finito de valores de verdad pueden definir sus conectivos lógicos utilizando tablas de verdad, al igual que la lógica clásica. La diferencia es que estas tablas de verdad son más complejas ya que se deben considerar más entradas y salidas posibles. ^{[58] [59]} En la lógica trivaluada de Kleene, por ejemplo, las entradas "verdadero" e "indefinido" para el operador de conjunción " " ${\displaystyle \land }$ dan como resultado la salida "indefinido". Las entradas "falso" e "indefinido", por el contrario, dan como resultado "falso". ^{[61] [59]}

Paraconsistent

Las lógicas paraconsistentes son sistemas lógicos que pueden lidiar con contradicciones sin llegar al absurdo total. ^{[62] [14] [63]} Logran esto evitando el principio de explosión que se encuentra en la lógica clásica. Según el principio de explosión, cualquier cosa se sigue de una contradicción. Esto es así debido a dos reglas de inferencia, que son válidas en la lógica clásica: la introducción de disyunción y el silogismo disyuntivo . ^{[62] [14] [63]} Según la introducción de disyunción, cualquier proposición puede introducirse en forma de disyunción cuando se combina con una proposición verdadera. ^[64] Entonces, dado que es cierto que "el sol es más grande que la luna", es posible inferir que "el sol es más grande que la luna o España está controlada por conejos espaciales". Según el silogismo disyuntivo , se puede inferir que uno de estos disyuntos es verdadero si el otro es falso. ^[64] Por lo tanto, si el sistema lógico también contiene la negación de esta proposición, es decir, que "el sol no es más grande que la luna", entonces es posible inferir cualquier proposición de este sistema, como la proposición de que "España está controlada por conejos espaciales". Las lógicas paraconsistentes evitan esto utilizando diferentes reglas de inferencia que invalidan las inferencias de acuerdo con el principio de explosión. ^{[62] [14] [63]}

Una motivación importante para usar lógicas paraconsistentes es el dialeísmo, es decir, la creencia de que las contradicciones no se introducen simplemente en las teorías debido a errores, sino que la realidad en sí es contradictoria y las contradicciones dentro de las teorías son necesarias para reflejar con precisión la realidad. ^{[63] [65] [62] [66]} Sin lógicas paraconsistentes, el dialeísmo sería inútil ya que todo sería verdadero y falso. ^[66] Las lógicas paraconsistentes hacen posible mantener las contradicciones locales, sin explotar todo el sistema. ^[14] Pero incluso con este ajuste, el dialeísmo sigue siendo muy controvertido. ^{[63] [66]} Otra motivación para la lógica paraconsistente es proporcionar una lógica para las discusiones y creencias grupales donde el grupo en su conjunto puede tener creencias inconsistentes si sus diferentes miembros están en desacuerdo. ^[63]

Pertinencia

La lógica de relevancia es un tipo de lógica paraconsistente. Como tal, también evita el principio de explosión, aunque este no suele ser el motivo principal detrás de la lógica de relevancia. En cambio, suele formularse con el objetivo de evitar ciertas aplicaciones no intuitivas del condicional material que se encuentra en la lógica clásica. ^{[67] [14] [68]} La lógica clásica define el condicional material en términos puramente veritativos-funcionales, es decir, " " ${\displaystyle p\to q}$ es falso si " " ${\displaystyle p}$ es verdadero y " " ${\displaystyle q}$ es falso, pero verdadero en todos los demás casos. Según esta definición formal, no importa si " " ${\displaystyle p}$ y " " ${\displaystyle q}$ son relevantes entre sí de alguna manera. ^{[67] [14] [68]} Por ejemplo, el condicional material "si todos los limones son rojos, entonces hay una tormenta de arena dentro de la Ópera de Sídney" es verdadero aunque las dos proposiciones no sean relevantes entre sí.

El hecho de que este uso de los condicionales materiales sea altamente poco intuitivo también se refleja en la lógica informal , que categoriza tales inferencias como falacias de relevancia . La lógica de relevancia intenta evitar estos casos al requerir que para un condicional material verdadero, su antecedente debe ser relevante para el consecuente. ^{[67] [14] [68]} Una dificultad a la que se enfrenta esta cuestión es que la relevancia generalmente pertenece al contenido de las proposiciones, mientras que la lógica solo se ocupa de los aspectos formales. Este problema se aborda parcialmente mediante el llamado principio de compartición de variables . Afirma que el antecedente y el consecuente tienen que compartir una variable proposicional. ^{[67] [68] [14]} Este sería el caso, por ejemplo, en " " ${\displaystyle (p\land q)\to q}$ pero no en " " ${\displaystyle (p\land q)\to r}$ . Una preocupación estrechamente relacionada con la lógica de relevancia es que las inferencias deben seguir el mismo requisito de relevancia, es decir, que es un requisito necesario de las inferencias válidas que sus premisas sean relevantes para su conclusión. ^[67]

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