S5 (lógica modal)

Uno de los cinco sistemas de lógica modal.

En lógica y filosofía , S5 es uno de los cinco sistemas de lógica modal propuestos por Clarence Irving Lewis y Cooper Harold Langford en su libro Symbolic Logic de 1932 . Es una lógica modal normal y uno de los sistemas de lógica modal más antiguos de cualquier tipo. Se forma con fórmulas de cálculo proposicional y tautologías , y aparatos de inferencia con sustitución y modus ponens , pero ampliando la sintaxis con el operador modal necesariamente y su dual posiblemente . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$

Los axiomas de S5

Lo siguiente hace uso de los operadores modales ("necesariamente") y ("posiblemente"). ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$

S5 se caracteriza por los axiomas:

• K : ; ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$
• T : , ${\displaystyle \Box A\to A}$

y también:

• 5 : ; ${\displaystyle \Diamond A\to \Box \Diamond A}$
• o ambos de los siguientes: ^[3]

• 4 : , y ${\displaystyle \Box A\to \Box \Box A}$
• B : . ${\displaystyle A\to \Box \Diamond A}$

El axioma (5) restringe la relación de accesibilidad del marco de Kripke para que sea euclidiana , es decir , combinando así necesidad con posibilidad bajo idempotencia . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (wRv\land wRu)\implies vRu}$

Semántica de Kripke

En términos de la semántica de Kripke , S5 se caracteriza por marcos donde la relación de accesibilidad es una relación de equivalencia : es reflexiva , transitiva y simétrica .

Determinar la satisfacibilidad de una fórmula S5 es un problema NP-completo . La prueba de dureza es trivial, ya que S5 incluye la lógica proposicional . La membresía se prueba mostrando que cualquier fórmula satisfactoria tiene un modelo de Kripke donde el número de mundos es como máximo lineal en el tamaño de la fórmula.

Aplicaciones

S5 es útil porque evita iteraciones superfluas de calificadores de diferentes tipos. Por ejemplo, según S5, si X es necesariamente, posiblemente, necesariamente, posiblemente verdadero, entonces X es posiblemente verdadero. Los calificadores sin negrita antes del "posiblemente" final se eliminan en S5. Si bien esto es útil para mantener las proposiciones razonablemente breves, también podría parecer contrario a la intuición en el sentido de que, según S5, si algo es posiblemente necesario, entonces es necesario.

Alvin Plantinga ha argumentado que esta característica de S5 no es, de hecho, contraintuitiva. Para justificarlo, razona que si X es posiblemente necesario , es necesario al menos en un mundo posible ; por tanto, es necesario en todos los mundos posibles y, por tanto, es verdadero en todos los mundos posibles. Tal razonamiento sustenta las formulaciones "modales" del argumento ontológico .

S5 es equivalente a la adjunción . ^[4] ${\displaystyle \Diamond \dashv \Box }$

Leibniz propuso un argumento ontológico a favor de la existencia de Dios utilizando este axioma. En sus palabras, "si un ser necesario es posible, se sigue que existe realmente". ^[5]

S5 es también el sistema modal de la metafísica de santo Tomás de Aquino y en particular de los Cinco Caminos . ^[6]

Sin embargo, estas aplicaciones requieren que cada operador esté en un arreglo serial de una sola modalidad. ^[7] Bajo la lógica multimodal , por ejemplo, "X es posiblemente (en la modalidad epistémica, según los datos propios) necesario (en la modalidad alética)", ya no se sigue que el hecho de que X sea necesario en al menos un mundo epistémicamente posible significa que sea necesario en todos los mundos epistémicamente posibles. Esto se alinea con la intuición de que proponer una determinada entidad necesaria no significa que sea real.

Ver también

• Lógica modal
• Lógica modal normal
• Semántica de Kripke

Referencias

1. Chellas, BF (1980) Lógica modal: introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN  0-521-22476-4
2. Hughes, GE y Cresswell, MJ (1996) Una nueva introducción a la lógica modal . Rutledge. ISBN 0-415-12599-5 
3. Kracht, Marcus (1999). Herramientas y técnicas en lógica modal (1ª ed.). Elsevier. pag. 72.ISBN​ 9780444500557.
4. "Steve Awodey. Teoría de categorías. Capítulo 10. Mónadas. 10.4 Comonadas y coalgebras" (PDF) .
5. Mira, Brandon C. (2020), Zalta, Edward N. (ed.), "Gottfried Wilhelm Leibniz", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2020), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 6 de junio de 2022. 03
6. Gianfranco Basti (2017). Logica III: logica filosofica e filosofia formale - Parte I: la riscoperta moderna della logica formale [ Lógicas III: Lógica filosófica y filosofía formal - Parte I: el redescubrimiento moderno de la lógica formal ] (PDF) (en italiano). Roma. págs.106, 108. Archivado desde el original (PPT) el 7 de octubre de 2022.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
7. Walter Carnielli ; Claudio Pizzi (2008). Modalidades y Multimodalidades . Saltador. ISBN 978-1-4020-8589-5.

enlaces externos

• http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html
• Lógica modal en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford