S5 (lógica modal)

Uno de los cinco sistemas de lógica modal

En lógica y filosofía , S5 es uno de los cinco sistemas de lógica modal propuestos por Clarence Irving Lewis y Cooper Harold Langford en su libro de 1932 Symbolic Logic . Es una lógica modal normal , y uno de los sistemas más antiguos de lógica modal de cualquier tipo. Está formada con fórmulas de cálculo proposicional y tautologías , y aparatos de inferencia con sustitución y modus ponens , pero extendiendo la sintaxis con el operador modal necesariamente y su dual posiblemente . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$

Los axiomas de S5

A continuación se utilizan los operadores modales ("necesariamente") y ("posiblemente"). ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$

S5 se caracteriza por los axiomas:

• K : ; ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$
• T : , ${\displaystyle \Box A\to A}$

y ya sea:

• 5 : ; ${\displaystyle \Diamond A\to \Box \Diamond A}$
• o ambos de los siguientes: ^[3]

• 4 : , y ${\displaystyle \Box A\to \Box \Box A}$
• B : . ${\displaystyle A\to \Box \Diamond A}$

El axioma (5) restringe la relación de accesibilidad del marco de Kripke a euclidiana , es decir , confundiendo así la necesidad con la posibilidad bajo idempotencia . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (wRv\land wRu)\implies vRu}$

Semántica de Kripke

En términos de la semántica de Kripke , S5 se caracteriza por marcos donde la relación de accesibilidad es una relación de equivalencia : es reflexiva , transitiva y simétrica .

Determinar la satisfacibilidad de una fórmula S5 es un problema NP-completo . La prueba de dificultad es trivial, ya que S5 incluye la lógica proposicional . La pertenencia se prueba mostrando que cualquier fórmula satisfacible tiene un modelo de Kripke donde el número de mundos es, como máximo, lineal en el tamaño de la fórmula.

Aplicaciones

La S5 es útil porque evita la iteración superflua de calificadores de diferentes tipos. Por ejemplo, en la S5, si X es necesariamente, posiblemente, necesariamente, posiblemente verdadero, entonces X es posiblemente verdadero. Los calificadores sin negrita antes del "posiblemente" final se eliminan en la S5. Si bien esto es útil para mantener las proposiciones razonablemente breves, también puede parecer contra-intuitivo en el sentido de que, en la S5, si algo es posiblemente necesario, entonces es necesario.

Alvin Plantinga ha argumentado que esta característica de S5 no es, de hecho, contraintuitiva. Para justificarlo, razona que si X es posiblemente necesario , es necesario en al menos un mundo posible ; por lo tanto, es necesario en todos los mundos posibles y, por lo tanto, es verdadero en todos los mundos posibles. Este razonamiento sustenta las formulaciones "modales" del argumento ontológico .

S5 es equivalente a la adjunción . ^[4] ${\displaystyle \Diamond \dashv \Box }$

Leibniz propuso un argumento ontológico para la existencia de Dios utilizando este axioma. En sus palabras: “Si un ser necesario es posible, se sigue que existe en realidad”. ^[5]

S5 es también el sistema modal de la metafísica de Santo Tomás de Aquino y en particular de las Cinco Vías . ^[6]

Sin embargo, estas aplicaciones requieren que cada operador esté en una disposición serial de una única modalidad. ^[7] Bajo la lógica multimodal , por ejemplo, "X es posiblemente (en modalidad epistémica, según los datos de uno) necesario (en modalidad alética)", ya no se sigue que el hecho de que X sea necesario en al menos un mundo epistémicamente posible signifique que es necesario en todos los mundos epistémicamente posibles. Esto se alinea con la intuición de que proponer una determinada entidad necesaria no significa que sea real.

Véase también

• Lógica modal
• Lógica modal normal
• Semántica de Kripke

Referencias

1. Chellas, BF (1980) Lógica modal: una introducción . Cambridge University Press. ISBN  0-521-22476-4
2. Hughes, GE y Cresswell, MJ (1996) Una nueva introducción a la lógica modal . Routledge. ISBN 0-415-12599-5 
3. Kracht, Marcus (1999). Herramientas y técnicas en lógica modal (1.ª ed.). Elsevier. pág. 72. ISBN 9780444500557.
4. "Steve Awodey. Teoría de categorías. Capítulo 10. Mónadas. 10.4 Comonadas y coalgebras" (PDF) .
5. Look, Brandon C. (2020), Zalta, Edward N. (ed.), "Gottfried Wilhelm Leibniz", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2020), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 3 de junio de 2022
6. Gianfranco Basti (2017). Logica III: logica filosofica e filosofia formale - Parte I: la riscoperta moderna della logica formale [ Lógicas III: Lógica filosófica y filosofía formal - Parte I: el redescubrimiento moderno de la lógica formal ] (PDF) (en italiano). Roma. págs.106, 108. Archivado desde el original (PPT) el 7 de octubre de 2022.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
7. Walter Carnielli ; Claudio Pizzi (2008). Modalidades y multimodalidades . Springer. ISBN 978-1-4020-8589-5.

Enlaces externos

• http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html
• Lógica modal en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford