Doble negación

Teorema de la lógica proposicional

En lógica proposicional , la doble negación de un enunciado establece que "no se da el caso de que el enunciado no sea verdadero". En la lógica clásica , cada afirmación es lógicamente equivalente a su doble negación, pero esto no es cierto en la lógica intuicionista . Esto se puede expresar mediante la fórmula A ≡ ~(~A) donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ~ expresa negación .

Al igual que la ley del tercero excluido , este principio se considera una ley del pensamiento en la lógica clásica, ^{[1] pero la} lógica intuicionista lo rechaza . ^[2] El principio fue establecido como un teorema de la lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

${\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)}$^[3]

"Este es el principio de la doble negación, es decir, una proposición equivale a la falsedad de su negación".

Eliminación e introducción

La eliminación de la doble negación y la introducción de la doble negación son dos reglas válidas de sustitución . Son las inferencias de que, si no-A es verdadero, entonces A es verdadero, y su recíproco , que, si A es verdadero, entonces no-A es verdadero, respectivamente. La regla permite introducir o eliminar una negación de una prueba formal . La regla se basa en la equivalencia de, por ejemplo, Es falso que no esté lloviendo. y está lloviendo.

La regla de introducción de la doble negación es:

PP​ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \neg }$

y la regla de eliminación de la doble negación es:

${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \neg }$PP​ ${\displaystyle \Rightarrow }$

Donde " " es un símbolo metalógico que representa "se puede reemplazar en una prueba con". ${\displaystyle \Rightarrow }$

En lógicas que tienen ambas reglas, la negación es una involución .

Notación formal

La regla de introducción de la doble negación se puede escribir en notación secuencial :

${\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

La regla de eliminación de la doble negación se puede escribir como:

${\displaystyle \neg \neg P\vdash P}$

En forma de regla :

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}}$

y

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

o como una tautología (oración de cálculo proposicional simple):

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

y

${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

Estos se pueden combinar en una única fórmula bicondicional:

${\displaystyle \neg \neg P\leftrightarrow P}$.

Dado que la bicondicionalidad es una relación de equivalencia , cualquier instancia de ¬¬ A en una fórmula bien formada puede ser reemplazada por A , dejando sin cambios el valor de verdad de la fórmula bien formada.

La doble eliminación negativa es un teorema de la lógica clásica , pero no de lógicas más débiles como la lógica intuicionista y la lógica mínima . La introducción a la doble negación es un teorema tanto de la lógica intuicionista como de la lógica mínima, tal como lo es . ${\displaystyle \neg \neg \neg A\vdash \neg A}$

Debido a su carácter constructivo, una afirmación como No es cierto que no esté lloviendo es más débil que Está lloviendo. Este último requiere una prueba de la lluvia, mientras que el primero simplemente requiere una prueba de que la lluvia no sería contradictoria. Esta distinción también surge en el lenguaje natural en forma de litotes .

Pruebas

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos de lógica proposicional al estilo de Hilbert , la doble negación no siempre se toma como un axioma (ver lista de sistemas de Hilbert ), sino que es más bien un teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

Usamos el lema probado aquí , al que nos referimos como (L1), y usamos el siguiente lema adicional, probado aquí : ${\displaystyle p\to p}$

(L2) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

Primero lo demostramos . Para abreviar, lo denotamos por φ ₀ . También utilizamos repetidamente el método del metateorema del silogismo hipotético como abreviatura de varios pasos de demostración. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ ${\displaystyle q\to (r\to q)}$

(1)       (instancia de (A1)) ${\displaystyle \varphi _{0}}$

(2)       (instancia de (A3)) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$

(3)       (instancia de (A3)) ${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$

(4)       (de (2) y (3) por el metateorema del silogismo hipotético) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$

(5)       (instancia de (A1)) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$

(6)       (de (4) y (5) por el metateorema del silogismo hipotético) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$

(7)       (instancia de (L2)) ${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$

(8)       (de (1) y (7) por modus ponens) ${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$

(9)       (de (6) y (8) por el metateorema del silogismo hipotético) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

Ahora lo demostramos . ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(1)       (ejemplo de la primera parte del teorema que acabamos de demostrar) ${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$

(2)       (instancia de (A3)) ${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

Y la prueba está completa.

Ver también

• Traducción negativa de Gödel-Gentzen

Referencias

1. Hamilton analiza a Hegel a continuación: "En los sistemas filosóficos más recientes, la universalidad y necesidad del axioma de la razón, junto con otras leyes lógicas, ha sido controvertida y rechazada por los especuladores sobre lo absoluto. [ Sobre el principio de doble negación como otra ley del pensamiento , véase Fries, Logik , §41, p. 190; Calker, Denkiehre odor Logic und Dialecktik , §165, p. 453 ; 1860:68)
2. La ^o de la fórmula de Kleene *49 ^o indica "la demostración no es válida para ambos sistemas [sistema clásico y sistema intuicionista]", Kleene 1952:101.
3. PM 1952 reimpresión de la segunda edición 1927 págs. 101-02, 117.

Bibliografía

• William Hamilton , 1860, Conferencias sobre metafísica y lógica, vol. II. Lógica; Editado por Henry Mansel y John Veitch , Boston, Gould y Lincoln.
• Christoph Sigwart , 1895, Lógica: juicio, concepto e inferencia; Segunda edición, traducida por Helen Dendy , Macmillan & Co. Nueva York.
• Stephen C. Kleene , 1952, Introducción a las metamatemáticas , sexta reimpresión con correcciones de 1971, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Stephen C. Kleene , 1967, Lógica matemática , edición de Dover 2002, Dover Publications, Inc, Mineola NY ISBN 0-486-42533-9 
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell , Principia Mathematica to *56 , 2.ª edición, 1927, reimpresión 1962, Cambridge en University Press.