En matemáticas , el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole establece que toda álgebra de Boole es isomorfa a un determinado cuerpo de conjuntos . El teorema es fundamental para la comprensión más profunda del álgebra de Boole que surgió en la primera mitad del siglo XX. El teorema fue demostrado por primera vez por Marshall H. Stone . [1] Stone llegó a él a través de su estudio de la teoría espectral de operadores en un espacio de Hilbert .
Cada álgebra de Boole B tiene un espacio topológico asociado , denotado aquí S ( B ), llamado su espacio de Stone . Los puntos en S ( B ) son los ultrafiltros en B , o equivalentemente los homomorfismos de B al álgebra de Boole de dos elementos . La topología en S ( B ) se genera por una base que consiste en todos los conjuntos de la forma donde b es un elemento de B . Estos conjuntos también son cerrados y, por lo tanto, son clopen (tanto cerrados como abiertos). Esta es la topología de convergencia puntual de redes de homomorfismos en el álgebra de Boole de dos elementos.
Para cada álgebra de Boole B , S ( B ) es un espacio de Hausdorff compacto y totalmente desconectado ; tales espacios se denominan espacios de Stone (también espacios profinitos ). Por el contrario, dado cualquier espacio topológico X , la colección de subconjuntos de X que son cloabiertos es un álgebra de Boole.
Una versión simple del teorema de representación de Stone establece que toda álgebra booleana B es isomorfa al álgebra de subconjuntos clopen de su espacio de Stone S ( B ). El isomorfismo envía un elemento al conjunto de todos los ultrafiltros que contienen b . Este es un conjunto clopen debido a la elección de la topología en S ( B ) y porque B es un álgebra booleana.
Reformulando el teorema utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , el teorema establece que existe una dualidad entre la categoría de álgebras de Boole y la categoría de espacios de Stone. Esta dualidad significa que, además de la correspondencia entre álgebras de Boole y sus espacios de Stone, cada homomorfismo de un álgebra de Boole A a un álgebra de Boole B corresponde de manera natural a una función continua de S ( B ) a S ( A ). En otras palabras, existe un funtor contravariante que da una equivalencia entre las categorías. Este fue un ejemplo temprano de una dualidad no trivial de categorías.
El teorema es un caso especial de la dualidad de Stone , un marco más general para las dualidades entre espacios topológicos y conjuntos parcialmente ordenados .
La prueba requiere el axioma de elección o una forma debilitada del mismo. En concreto, el teorema es equivalente al teorema del ideal primo de Boole , un principio de elección debilitado que establece que toda álgebra de Boole tiene un ideal primo.
Una extensión de la dualidad clásica de Stone a la categoría de espacios booleanos (es decir, espacios de Hausdorff localmente compactos de dimensión cero ) y mapas continuos (respectivamente, mapas perfectos) fue obtenida por GD Dimov (respectivamente, por HP Doctor). [2] [3]
