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Espacio totalmente desconectado

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio totalmente desconectado es un espacio topológico que tiene solo singletons como subconjuntos conexos . En todo espacio topológico, los singletons (y, cuando se considera conexo, el conjunto vacío) son conexos; en un espacio totalmente desconectado, estos son los únicos subconjuntos conexos.

Un ejemplo importante de un espacio totalmente desconectado es el conjunto de Cantor , que es homeomorfo al conjunto de números enteros p -ádicos . Otro ejemplo, que desempeña un papel clave en la teoría algebraica de números , es el cuerpo Q p de números p -ádicos .

Definición

Un espacio topológico está totalmente desconectado si los componentes conectados en son los conjuntos de un punto. [1] [2] De manera análoga, un espacio topológico está totalmente desconectado de trayectorias si todos los componentes de trayectorias en son los conjuntos de un punto.

Otra noción estrechamente relacionada es la de un espacio totalmente separado , es decir, un espacio donde los cuasicomponentes son singletons. Es decir, un espacio topológico está totalmente separado si para cada , la intersección de todos los vecindarios abiertos y cerrados de es el singleton . De manera equivalente, para cada par de puntos distintos , hay un par de vecindarios abiertos disjuntos de tales que .

Todo espacio totalmente separado es evidentemente totalmente desconectado, pero la recíproca es falsa incluso para los espacios métricos . Por ejemplo, tomemos como el tipi de Cantor , que es el abanico de Knaster-Kuratowski sin el vértice. Entonces es totalmente desconectado, pero sus cuasicomponentes no son singletons. Para los espacios de Hausdorff localmente compactos , las dos nociones (totalmente desconectado y totalmente separado) son equivalentes.

De manera confusa, en la literatura (por ejemplo [3] ) los espacios totalmente desconectados a veces se denominan hereditariamente desconectados , [4] mientras que la terminología totalmente desconectado se utiliza para espacios totalmente separados. [4]

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de espacios totalmente desconectados:

Propiedades

Construcción de un espacio cociente totalmente desconectado de cualquier espacio dado

Sea un espacio topológico arbitrario. Sea si y solo si (donde denota el subconjunto conexo más grande que contiene a ). Obviamente, se trata de una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los componentes conexos de . Dote con la topología cociente , es decir, la topología más fina que hace que la función sea continua. Con un poco de esfuerzo podemos ver que es totalmente desconectada.

De hecho, este espacio no es sólo un cociente totalmente desconectado sino en cierto sentido el más grande : Se cumple la siguiente propiedad universal : para cualquier espacio totalmente desconectado y cualquier aplicación continua , existe una única aplicación continua con .

Véase también

Citas

  1. ^ Rudin 1991, pág. 395 Apéndice A7.
  2. ^ Munkres 2000, págs. 152.
  3. ^ Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Serie Sigma en Matemática Pura. ISBN 3-88538-006-4.
  4. ^ ab Kuratowski 1968, págs.151.

Referencias