En lógica , el cálculo de predicados monádicos (también llamado lógica monádica de primer orden ) es el fragmento de lógica de primer orden en el que todos los símbolos de relación [ aclaración necesaria ] en la signatura son monádicos (es decir, toman solo un argumento), y no hay símbolos de función. Todas las fórmulas atómicas tienen, por lo tanto, la forma , donde es un símbolo de relación y es una variable .
El cálculo de predicados monádicos se puede contrastar con el cálculo de predicados poliádicos, que permite símbolos de relación que toman dos o más argumentos.
La ausencia de símbolos de relación poliádica restringe severamente lo que se puede expresar en el cálculo de predicados monádicos. Es tan débil que, a diferencia del cálculo de predicados completo, es decidible : existe un procedimiento de decisión que determina si una fórmula dada de cálculo de predicados monádicos es lógicamente válida (verdadera para todos los dominios no vacíos ). [1] [2] Sin embargo, agregar un solo símbolo de relación binaria a la lógica monádica da como resultado una lógica indecidible.
La necesidad de ir más allá de la lógica monádica no fue apreciada hasta el trabajo sobre la lógica de las relaciones , de Augustus De Morgan y Charles Sanders Peirce en el siglo XIX, y por Frege en su Begriffsschrift de 1879. Antes del trabajo de estos tres, la lógica de términos (lógica silogística) era considerada ampliamente adecuada para el razonamiento deductivo formal.
Todas las inferencias en lógica de términos se pueden representar en el cálculo de predicados monádicos. Por ejemplo, el argumento
se puede escribir en el lenguaje del cálculo de predicados monádicos como
donde , y denotan los predicados [ aclaración necesaria ] de ser, respectivamente, un perro, un mamífero y un pájaro.
Por el contrario, el cálculo de predicados monádicos no es significativamente más expresivo que la lógica de términos. Cada fórmula en el cálculo de predicados monádicos es equivalente a una fórmula en la que los cuantificadores aparecen solo en subfórmulas cerradas de la forma
o
Estas fórmulas generalizan ligeramente los juicios básicos considerados en la lógica de términos. Por ejemplo, esta forma permite afirmaciones como " Todo mamífero es herbívoro o carnívoro (o ambos) ". Sin embargo, el razonamiento sobre tales afirmaciones todavía puede manejarse dentro del marco de la lógica de términos, aunque no solo mediante los 19 silogismos aristotélicos clásicos .
Si se toma como dada la lógica proposicional , cada fórmula del cálculo de predicados monádicos expresa algo que también puede formularse en la lógica de términos. Por otra parte, una visión moderna del problema de la generalidad múltiple en la lógica tradicional concluye que los cuantificadores no pueden anidarse de manera útil si no hay predicados poliádicos para relacionar las variables ligadas.
El sistema formal descrito anteriormente se denomina a veces cálculo de predicados monádico puro , donde "puro" significa la ausencia de símbolos de función. Permitir símbolos de función monádicos cambia la lógica solo superficialmente [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ] , mientras que admitir incluso un solo símbolo de función binaria da como resultado una lógica indecidible.
La lógica monádica de segundo orden permite predicados de mayor aridad en las fórmulas, pero restringe la cuantificación de segundo orden a predicados unarios [ aclaración necesaria ] , es decir, las únicas variables de segundo orden permitidas son las variables de subconjunto.
![{\displaystyle [(\para todo x\,D(x)\Rightarrow M(x))\land \neg (\existe y\,M(y)\land B(y))]\Rightarrow \neg (\existe z\,D(z)\land B(z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9148f8af6169e4ebc7940575279b283c91273d88)
