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Pseudocomplemento

En matemáticas , particularmente en teoría del orden , un pseudocomplemento es una generalización de la noción de complemento . En una red L con elemento inferior 0, se dice que un elemento xL tiene un pseudocomplemento si existe un elemento máximo x * ∈ L con la propiedad de que xx * = 0. Más formalmente, x * = máx{ yL | xy = 0 }. La red L en sí misma se llama red pseudocomplementada si cada elemento de L es pseudocomplementado. Cada red pseudocomplementada está necesariamente acotada , es decir, también tiene un 1. Dado que el pseudocomplemento es único por definición (si existe), una red pseudocomplementada puede estar dotada de una operación unaria * que asigna cada elemento a su pseudocomplemento; esta estructura a veces se llama p -álgebra . [1] [2] Sin embargo, este último término puede tener otros significados en otras áreas de las matemáticas.

Propiedades

En una p -álgebra L , para todos [1] [2]

El conjunto S ( L ) ≝ { x ** | x ​​∈ L } se denomina esqueleto de L . S ( L ) es una ∧- subsemirretícula de L y junto con xy = ( xy )** = ( x * ∧ y *)* forma un álgebra de Boole (el complemento en esta álgebra es *). [1] [2] En general, S ( L ) no es una subred de L . [2] En un p -álgebra distributiva , S ( L ) es el conjunto de elementos complementados de L . [1]

Todo elemento x con la propiedad x * = 0 (o equivalentemente, x ** = 1) se llama denso . Todo elemento de la forma xx * es denso. D ( L ), el conjunto de todos los elementos densos en L es un filtro de L. [1] [2] Una p -álgebra distributiva es booleana si y solo si D ( L ) = {1}. [1]

Las redes pseudocomplementadas forman una variedad ; de hecho, también lo hacen las semirredes pseudocomplementadas. [3]

Ejemplos

Pseudocomplemento relativo

Un pseudocomplemento relativo de a con respecto a b es un elemento máximo c tal que acb . Esta operación binaria se denota ab . Una red con el pseudocomplemento para cada dos elementos se llama red implicativa o red de Brouwer . En general, una red implicativa puede no tener un elemento mínimo. Si existe tal elemento mínimo, entonces cada pseudocomplemento a * podría definirse utilizando pseudocomplemento relativo como a → 0. [4]

Véase también

Referencias

  1. ^ abcdefghi TS Blyth (2006). Redes y estructuras algebraicas ordenadas . Springer Science & Business Media. Capítulo 7. Pseudocomplementación; Álgebras de Stone y Heyting. Págs. 103–119. ISBN 978-1-84628-127-3.
  2. ^ abcdef Clifford Bergman (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . CRC Press. págs. 63–70. ISBN 978-1-4398-5129-6.
  3. ^ Balbes, Raymond; Horn, Alfred (septiembre de 1970). "Entramados de piedra". Duke Math. J. 37 (3): 537–545. doi :10.1215/S0012-7094-70-03768-3.
  4. ^ Birkhoff, Garrett (1973). Teoría de retículos (3.ª ed.). AMS. pág. 44.