En matemáticas , un subespacio relativamente compacto (o subconjunto relativamente compacto , o subconjunto precompacto ) Y de un espacio topológico X es un subconjunto cuyo cierre es compacto .
Todo subconjunto de un espacio topológico compacto es relativamente compacto (ya que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto). Y en un espacio topológico arbitrario todo subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto.
Todo subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es relativamente compacto. En un espacio no hausdorffiano, como la topología puntual particular de un conjunto infinito, la clausura de un subconjunto compacto no es necesariamente compacta; dicho de otro modo, un subconjunto compacto de un espacio no hausdorffiano no es necesariamente relativamente compacto.
Cada subconjunto compacto de un espacio vectorial topológico (posiblemente no Hausdorff) es completo y relativamente compacto.
En el caso de una topología métrica , o más generalmente cuando se pueden usar secuencias para probar la compacidad , el criterio de compacidad relativa es que cualquier secuencia en Y tiene una subsecuencia convergente en X.
Algunos teoremas importantes caracterizan subconjuntos relativamente compactos, en particular en espacios funcionales . Un ejemplo es el teorema de Arzelà-Ascoli . Otros casos de interés se relacionan con la integrabilidad uniforme y el concepto de familia normal en el análisis complejo . El teorema de compacidad de Mahler en la geometría de números caracteriza subconjuntos relativamente compactos en ciertos espacios homogéneos no compactos (específicamente espacios de retículos ).
Como contraejemplo, tomemos cualquier entorno del punto particular de un espacio infinito de puntos particulares . El entorno en sí puede ser compacto, pero no relativamente compacto porque su clausura es todo el espacio no compacto.
La definición de una función casi periódica F a nivel conceptual tiene que ver con que las traducidas de F son un conjunto relativamente compacto. Esto debe precisarse en función de la topología utilizada en una teoría particular.