stringtranslate.com

Conjunto denso en ninguna parte

En matemáticas , un subconjunto de un espacio topológico se denomina denso en ninguna parte [1] [2] o raro [3] si su clausura tiene el interior vacío . En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están agrupados estrechamente (como lo define la topología en el espacio) en ningún lugar. Por ejemplo, los números enteros no son densos en ninguna parte entre los números reales , mientras que el intervalo (0, 1) no es denso en ninguna parte.

Una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte se denomina conjunto magro . Los conjuntos magros desempeñan un papel importante en la formulación del teorema de categorías de Baire , que se utiliza en la demostración de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

Definición

La densidad no se puede caracterizar de formas diferentes (pero equivalentes). La definición más sencilla es la de densidad:

Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es denso en otro conjunto si la intersección es un subconjunto denso de no es denso ni raro en ninguna parte si no es denso en ningún subconjunto abierto no vacío de

Desarrollando la negación de la densidad, es equivalente a que cada conjunto abierto no vacío contenga un subconjunto abierto no vacío disjunto de [4]. Es suficiente comprobar cualquiera de las condiciones en una base para la topología en En particular, la densidad en ninguna parte en se describe a menudo como densa en ningún intervalo abierto . [5] [6]

Definición por cierre

La segunda definición anterior es equivalente a exigir que el cierre no pueda contener ningún conjunto abierto no vacío. [7] Esto es lo mismo que decir que el interior del cierre de está vacío; es decir,

[8] [9]

Alternativamente, el complemento del cierre debe ser un subconjunto denso de [4] [8] en otras palabras, el exterior de es denso en

Propiedades

La noción de conjunto denso en ninguna parte es siempre relativa a un espacio circundante dado. Supongamos que donde tiene la topología de subespacio inducida a partir de El conjunto puede ser denso en ninguna parte en pero no en ninguna parte en Cabe destacar que un conjunto siempre es denso en su propia topología de subespacio. Por lo tanto, si no está vacío, no será denso en ninguna parte como subconjunto de sí mismo. Sin embargo, se cumplen los siguientes resultados: [10] [11]

Un conjunto no es denso en ningún sentido si y sólo si su clausura lo es. [1]

Cada subconjunto de un conjunto denso en ninguna parte es denso en ninguna parte, y una unión finita de conjuntos densos en ninguna parte es densa en ninguna parte. [12] [13] Por lo tanto, los conjuntos densos en ninguna parte forman un ideal de conjuntos , una noción adecuada de conjunto despreciable . En general, no forman un 𝜎-ideal , ya que los conjuntos magros , que son las uniones contables de conjuntos densos en ninguna parte, no necesitan ser densos en ninguna parte. Por ejemplo, el conjunto no es denso en ninguna parte en

El límite de todo conjunto abierto y de todo conjunto cerrado es cerrado y no es denso en ninguna parte. [14] [2] Un conjunto cerrado no es denso en ninguna parte si y solo si es igual a su límite, [14] si y solo si es igual al límite de algún conjunto abierto [2] (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el complemento del conjunto). Un conjunto arbitrario no es denso en ninguna parte si y solo si es un subconjunto del límite de algún conjunto abierto (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el exterior de ).

Ejemplos

En ninguna parte hay conjuntos densos con medida positiva

Un conjunto denso en ninguna parte no es necesariamente despreciable en todos los sentidos. Por ejemplo, si es el intervalo unitario no sólo es posible tener un conjunto denso de medida de Lebesgue cero (como el conjunto de los racionales), sino que también es posible tener un conjunto denso en ninguna parte con medida positiva. Un ejemplo de ello es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor .

Para otro ejemplo (una variante del conjunto de Cantor ), elimine de todas las fracciones diádicas , es decir, fracciones de la forma en términos más bajos para números enteros positivos y los intervalos alrededor de ellas: Dado que para cada esto elimina intervalos que suman como máximo el conjunto denso en ninguna parte que queda después de que se han eliminado todos esos intervalos tiene una medida de al menos (de hecho, un poco más de debido a las superposiciones [17] ) y, por lo tanto, en cierto sentido representa la mayoría del espacio ambiental. Este conjunto no es denso en ninguna parte, ya que es cerrado y tiene un interior vacío: ningún intervalo está contenido en el conjunto ya que las fracciones diádicas en han sido eliminadas.

Generalizando este método, se pueden construir en el intervalo unitario conjuntos densos en ninguna parte de cualquier medida menor que aunque la medida no puede ser exactamente 1 (porque de lo contrario el complemento de su clausura sería un conjunto abierto no vacío con medida cero, lo cual es imposible). [18]

Para dar otro ejemplo más simple, si es cualquier subconjunto denso abierto de que tiene una medida de Lebesgue finita , entonces es necesariamente un subconjunto cerrado de que tiene una medida de Lebesgue infinita que tampoco es denso en ninguna parte (porque su interior topológico está vacío). Un subconjunto denso abierto de este tipo con una medida de Lebesgue finita se construye comúnmente cuando se prueba que la medida de Lebesgue de los números racionales es Esto se puede hacer eligiendo cualquier biyección (en realidad basta con que sea simplemente una sobreyección ) y para cada habilitación (aquí, se utilizó la notación de suma de Minkowski para simplificar la descripción de los intervalos). El subconjunto abierto es denso en porque esto es cierto para su subconjunto y su medida de Lebesgue no es mayor que Tomando la unión de intervalos cerrados, en lugar de abiertos, se produce el F 𝜎 -subconjunto que satisface Como es un subconjunto del conjunto denso en ninguna parte , también es denso en ninguna parte en Como es un espacio de Baire , el conjunto es un subconjunto denso de (lo que significa que como su subconjunto no puede ser denso en ninguna parte en ) con medida de Lebesgue que también es un subconjunto no magro de (es decir, es de la segunda categoría en ), lo que hace un subconjunto comeager de cuyo interior en también está vacío; sin embargo, no es denso en ninguna parte en si y solo si su clausura en tiene el interior vacío. El subconjunto en este ejemplo puede reemplazarse por cualquier subconjunto denso contable de y, además, incluso el conjunto puede reemplazarse por para cualquier entero

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Bourbaki 1989, cap. IX, apartado 5.1.
  2. ^ abc Willard 2004, Problema 4G.
  3. ^ Narici y Beckenstein 2011, sección 11.5, págs. 387-389.
  4. ^ desde Fremlin 2002, 3A3F(a).
  5. ^ Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pp. 1–2. ISBN 0-387-90508-1Un conjunto no es denso en ninguna parte si no es denso en ningún intervalo .; aunque tenga en cuenta que Oxtoby da más adelante la definición del interior del cierre en la página 40.
  6. ^ Natanson, Israel P. (1955). Teoria functsiy veshchestvennoy peremennoy [ Teoría de funciones de una variable real ]. Vol. I (Capítulos 1-9). Traducido por Boron, Leo F. Nueva York: Frederick Ungar. p. 88. hdl :2027/mdp.49015000681685. LCCN  54-7420.
  7. ^ Steen, Lynn Arthur; Seebach Jr., J. Arthur (1995). Contraejemplos en topología (reedición de Dover de Springer-Verlag, edición de 1978). Nueva York: Dover. pag. 7.ISBN 978-0-486-68735-3Se dice que un subconjunto de no es denso en ninguna parte si no hay ningún conjunto abierto no vacío de contenido en
  8. ^ ab Gamelin, Theodore W. (1999). Introducción a la topología (2.ª ed.). Mineola: Dover. págs. 36-37. ISBN 0-486-40680-6– a través de ProQuest ebook Central.
  9. ^ Rudin 1991, pág. 41.
  10. ^ Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.5.4.
  11. ^ Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.3.
  12. ^ Fremlin 2002, 3A3F(c).
  13. ^ Willard 2004, Problema 25A.
  14. ^ ab Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3 (e).
  15. ^ Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3 (a).
  16. ^ Narici y Beckenstein 2011, Ejemplo 11.5.3(f).
  17. ^ "Algunos conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva y una función continua estrictamente monótona con un conjunto denso de puntos con derivada cero".
  18. ^ Folland, GB (1984). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones. Nueva York: John Wiley & Sons. p. 41. hdl :2027/mdp.49015000929258. ISBN 0-471-80958-6.

Bibliografía

Enlaces externos