Espacio disperso

En matemáticas, un espacio disperso es un espacio topológico X que no contiene ningún subconjunto denso en sí mismo no vacío . ^{[1] [2]} De manera equivalente, cada subconjunto no vacío A de X contiene un punto aislado en A .

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina conjunto disperso si es un espacio disperso con la topología de subespacio .

Ejemplos

• Cada espacio discreto está disperso.
• Todo número ordinal con topología de orden es disperso. De hecho, todo subconjunto no vacío A contiene un elemento mínimo, y ese elemento está aislado en A.
• Un espacio X con la topología puntual particular , en particular el espacio de Sierpinski , está disperso. Este es un ejemplo de un espacio disperso que no es un espacio T 1 .
• El cierre de un conjunto disperso no es necesariamente disperso. Por ejemplo, en el plano euclidiano, tomemos un conjunto discreto infinito numerable A en el disco unitario , con puntos cada vez más densos a medida que uno se acerca al límite. Por ejemplo, tomemos la unión de los vértices de una serie de n -gonos centrados en el origen, con radio cada vez más cercano a 1. Entonces, el cierre de A contendrá todo el círculo de radio 1, que es denso en sí mismo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Propiedades

• En un espacio topológico X, la clausura de un subconjunto denso en sí mismo es un conjunto perfecto . Por lo tanto, X es disperso si y solo si no contiene ningún conjunto perfecto no vacío.
• Todo subconjunto de un espacio disperso está disperso. Estar disperso es una propiedad hereditaria .
• Todo espacio disperso X es un espacio T 0 . ( Demostración: Dados dos puntos distintos x , y en X , al menos uno de ellos, digamos x , estará aislado en . Eso significa que hay un entorno de x en X que no contiene y .) ${\displaystyle \{x,y\}}$
• En un espacio T ₀ la unión de dos conjuntos dispersos está dispersa. ^{[3] [4]} Nótese que el supuesto T ₀ es necesario aquí. Por ejemplo, si con la topología indiscreta , y están ambos dispersos, pero su unión, , no está dispersa ya que no tiene un punto aislado. ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle \{b\}}$ ${\displaystyle X}$
• Cada espacio disperso T1 está _totalmente desconectado .
  ( Demostración: si C es un subconjunto conexo no vacío de X , contiene un punto x aislado en C. Por lo tanto, el singleton es abierto en C (porque x está aislado) y cerrado en C (debido a la propiedad T ₁ ). Como C está conexo, debe ser igual a . Esto demuestra que cada componente conexo de X tiene un único punto). ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$
• Cada segundo espacio disperso contable es contable . ^[5]
• Todo espacio topológico X puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto disperso. ^{[6] [7]}
• Cada segundo espacio contable X puede escribirse de manera única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto disperso contable.
  ( Demostración: utilice la descomposición perfecta + dispersa y el hecho anterior acerca de los segundos espacios contables dispersos, junto con el hecho de que un subconjunto de un segundo espacio contable es segundo contable).
  Además, cada subconjunto cerrado de un segundo X contable puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un subconjunto perfecto de X y un subconjunto contable disperso de X. ^[8] Esto se cumple en particular en cualquier espacio polaco , que es el contenido del teorema de Cantor-Bendixson .

Notas

1. Steen y Seebach, pág. 33
2. Engelking, pág. 59
3. Véase la proposición 2.8 en Al-Hajri, Monerah; Belaid, Karim; Belaid, Lamia Jaafar (2016). "Espacios dispersos, compactificaciones y una aplicación al problema de clasificación de imágenes". Tatra Mountains Mathematical Publications . 66 : 1–12. doi : 10.1515/tmmp-2016-0015 . S2CID  199470332.
4. "Topología general: en un espacio $T_0$ la unión de dos conjuntos dispersos es dispersa".
5. "Topología general - Los segundos espacios dispersos contables son contables".
6. Willard, problema 30E, pág. 219
7. "Topología general - Unicidad de la descomposición en conjunto perfecto y conjunto disperso".
8. "Análisis real: ¿es correcto el teorema de Cantor-Bendixson para un segundo espacio contable general?"

Referencias

• Engelking, Ryszard , Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de la edición de 1970), Addison-Wesley