En topología , una rama de las matemáticas , los espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos , basados en distancias de punto a conjunto , en lugar de distancias de punto a punto. Fueron introducidos por Robert Lowen en 1989, en una serie de artículos sobre teoría de aproximación entre 1988 y 1995.
Dado un espacio métrico ( X , d ), o más generalmente, un pseudo cuasimetrico extendido (que se abreviará aquí como ∞pq-métrico ), se puede definir una función inducida d : X × P( X ) → [0,∞] por d ( x , A ) = inf { d ( x , a ) : a ∈ A }. Con este ejemplo en mente, una distancia en X se define como una función X × P( X ) → [0,∞] que satisface para todo x en X y A , B ⊆ X ,
donde definimos A (ε) = { x : d ( x , A ) ≤ ε}.
(La convención " el ínfimo vacío es infinito positivo" es como la convención de que la intersección nular es todo ).
Un espacio de aproximación se define como un par ( X , d ) donde d es una función de distancia en X . Cada espacio de aproximación tiene una topología , dada al tratar A → A (0) como un operador de cierre de Kuratowski .
Las aplicaciones apropiadas entre espacios de aproximación son las contracciones . Una aplicación f : ( X , d ) → ( Y , e ) es una contracción si e ( f ( x ), f [ A ]) ≤ d ( x , A ) para todo x ∈ X y A ⊆ X .
Todo espacio ∞pq-métrico ( X , d ) puede distanciarse a ( X , d ), como se describe al comienzo de la definición.
Dado un conjunto X , la distancia discreta viene dada por d ( x , A ) = 0 si x ∈ A y d ( x , A ) = ∞ si x ∉ A . La topología inducida es la topología discreta .
Dado un conjunto X , la distancia indiscreta viene dada por d ( x , A ) = 0 si A no está vacío, y d ( x , A ) = ∞ si A está vacío. La topología inducida es la topología indiscreta.
Dado un espacio topológico X , la distancia topológica viene dada por d ( x , A ) = 0 si x ∈ A , y d ( x , A ) = ∞ en caso contrario. La topología inducida es la topología original. De hecho, las únicas distancias bivaluadas son las distancias topológicas.
Sea P = [0, ∞] el conjunto de números reales no negativos extendidos . Sea d + ( x , A ) = max( x − sup A , 0) para x ∈ P y A ⊆ P . Dado cualquier espacio de aproximación ( X , d ), las funciones (para cada A ⊆ X ) d (., A ) : ( X , d ) → ( P , d + ) son contracciones.
En P , sea e ( x , A ) = inf{| x − a | : a ∈ A } para x < ∞, sea e (∞, A ) = 0 si A no tiene límites, y sea e (∞, A ) = ∞ si A tiene límites. Entonces ( P , e ) es un espacio de aproximación. Topológicamente, P es la compactificación de un punto de [0, ∞). Nótese que e extiende la distancia euclidiana ordinaria. Esto no se puede hacer con la métrica euclidiana ordinaria.
Sea β N la compactificación de Stone–Čech de los enteros . Un punto U ∈ β N es un ultrafiltro en N . Un subconjunto A ⊆ β N induce un filtro F ( A ) = ∩ { U : U ∈ A }. Sea b ( U , A ) = sup{ inf{ | n − j | : n ∈ X , j ∈ E } : X ∈ U , E ∈ F ( A ) }. Entonces (β N , b ) es un espacio de aproximación que extiende la distancia euclidiana ordinaria en N . Por el contrario, β N no es metrizable.
Lowen ha ofrecido al menos siete formulaciones equivalentes. Dos de ellas se muestran a continuación.
Sea XPQ( X ) el conjunto de xpq-métricas en X . Una subfamilia G de XPQ( X ) se denomina calibre si
Si G es un indicador en X , entonces d ( x , A ) = sup { e ( x , a ) } : e ∈ G } es una función de distancia en X . Por el contrario, dada una función de distancia d en X , el conjunto de e ∈ XPQ( X ) tal que e ≤ d es un indicador en X . Las dos operaciones son inversas entre sí.
Una contracción f : ( X , d ) → ( Y , e ) es, en términos de los indicadores asociados G y H respectivamente, una función tal que para todo d ∈ H , d ( f (.), f (.)) ∈ G .
Una torre en X es un conjunto de mapas A → A [ε] para A ⊆ X , ε ≥ 0, que satisfacen para todos A , B ⊆ X y δ, ε ≥ 0
Dada una distancia d , la asociada A → A (ε) es una torre. Por el contrario, dada una torre, la función d ( x , A ) = inf{ε : x ∈ A [ε] } es una distancia, y estas dos operaciones son inversas entre sí.
Una contracción f :( X , d )→( Y , e ) es, en términos de torres asociadas, una función tal que para todo ε ≥ 0, f [ A [ε] ] ⊆ f [ A ] [ε] .
El principal interés de los espacios de aproximación y sus contracciones es que forman una categoría con buenas propiedades, a la vez que siguen siendo cuantitativos como los espacios métricos. Se pueden tomar productos , coproductos y cocientes arbitrarios, y los resultados generalizan apropiadamente los resultados correspondientes para topologías. Incluso se pueden "distanciar" espacios tan poco metrizables como β N , la compactificación de Stone–Čech de los números enteros.
Ciertos hiperespacios, espacios de medida y espacios métricos probabilísticos resultan estar naturalmente dotados de una distancia. También se han hecho aplicaciones a la teoría de aproximación .