Espacio poliádico

En matemáticas , un espacio poliádico es un espacio topológico que es la imagen bajo una función continua de una potencia topológica de una compactificación de un punto de Alexandroff de un espacio discreto .

Historia

Los espacios poliádicos fueron estudiados por primera vez por S. Mrówka en 1970 como una generalización de los espacios diádicos . ^[1] La teoría fue desarrollada posteriormente por RH Marty, János Gerlits y Murray G. Bell, ^[2] el último de los cuales introdujo el concepto de espacios centrados más generales. ^[1]

Fondo

Se dice que un subconjunto K de un espacio topológico X es compacto si cada cubierta abierta de K contiene una subcubierta finita. Se dice que es localmente compacto en un punto x ∈ X si x se encuentra en el interior de algún subconjunto compacto de X . X es un espacio localmente compacto si es localmente compacto en cada punto del espacio. ^[3]

Se dice que un subconjunto propio A ⊂ X es denso si el cierre Ā = X . Un espacio cuyo conjunto tiene un subconjunto denso y contable se denomina espacio separable .

Para un espacio topológico de Hausdorff no compacto, localmente compacto , definimos la compactificación de un punto de Alexandroff como el espacio topológico con el conjunto , denotado , donde , con la topología definida de la siguiente manera: ^{[2] [4]} ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ ${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \omega \notin X}$ ${\displaystyle \tau _{\omega X}}$

• ${\displaystyle \tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$, para cada subconjunto compacto . ${\displaystyle C\subseteq X}$

Definición

Sea un espacio topológico discreto, y sea una compactificación de un punto de Alexandroff de . Un espacio de Hausdorff es poliádico si para algún número cardinal , existe una función sobreyectiva continua , donde es el espacio producto obtenido al multiplicar consigo mismo por . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$ ${\displaystyle \omega X^{\lambda }}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ejemplos

Tomemos el conjunto de números naturales con topología discreta. Su compactificación de un punto de Alexandroff es . Elija y defina el homeomorfismo con la función ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

De la definición se desprende que el espacio imagen es poliádico y compacto directamente de la definición de compacidad, sin utilizar Heine-Borel. ${\displaystyle h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}}$

Todo espacio diádico (un espacio compacto que es una imagen continua de un conjunto de Cantor ^[6] ) es un espacio poliádico. ^[7]

Sea X un espacio separable y compacto. Si X es un espacio metrizable , entonces es poliádico (lo inverso también es cierto). ^[2]

Propiedades

La celularidad de un espacio es ${\displaystyle c(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}}$$

La estrechez de un espacio se define de la siguiente manera: sean , y . Definamos entonces ^[8] ${\displaystyle t(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$ $${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subset A\right\}}$$ $${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}}$$ ${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$

El peso topológico de un espacio poliádico satisface la igualdad . ^[9] ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$

Sea un espacio poliádico y sea . Entonces existe un espacio poliádico tal que y . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle P\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq P}$ ${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$

Los espacios poliádicos son la clase más pequeña de espacios topológicos que contienen espacios compactos métricos y están cerrados bajo productos e imágenes continuas. ^[10] Cada espacio poliádico de peso es una imagen continua de . ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Un espacio topológico tiene la propiedad de Suslin si no existe una familia incontable de subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos por pares de . ^[11] Supóngase que tiene la propiedad de Suslin y es poliádico. Entonces es diádico. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea el menor número de conjuntos discretos necesarios para cubrir , y sea la menor cardinalidad de un conjunto abierto no vacío en . Si es un espacio poliádico, entonces . ^[9] ${\displaystyle dis(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle dis(X)\geq \Delta (X)}$

Teorema de Ramsey

Existe un análogo del teorema de Ramsey de la combinatoria para espacios poliádicos. Para ello, describimos la relación entre espacios booleanos y espacios poliádicos. Sea álgebra clopen de todos los subconjuntos clopen de . Definimos un espacio booleano como un espacio compacto de Hausdorff cuya base es . El elemento tal que se llama conjunto generador para . Decimos que es una colección -disjunta si es la unión de como máximo subcolecciones , donde para cada , es una colección disjunta de cardinalidad como máximo Petr Simon demostró que es un espacio booleano con el conjunto generador de siendo -disjunto si y solo si es homeomorfo a un subespacio cerrado de . ^[8] La propiedad similar a Ramsey para espacios poliádicos como lo enuncia Murray Bell para espacios booleanos es entonces como sigue: cada colección clopen incontable contiene una subcolección incontable que está enlazada o disjunta. ^[13] ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G\in CO(X)'}$ ${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$

Compacidad

Definimos el número de compacidad de un espacio , denotado por , como el menor número tal que tiene una subbase cerrada n-aria . Podemos construir espacios poliádicos con un número de compacidad arbitrario. Lo demostraremos usando dos teoremas probados por Murray Bell en 1985. Sea una colección de conjuntos y sea un conjunto. Denotamos el conjunto por ; todos los subconjuntos de de tamaño por ; y todos los subconjuntos de tamaño como máximo por . Si y para todo , entonces decimos que es n-vinculado. Si cada subconjunto n-vinculado de tiene una intersección no vacía, entonces decimos que es n-ario. Nótese que si es n-ario, entonces también lo es , y por lo tanto cada espacio con tiene una subbase cerrada n-aria con . Nótese que una colección de subconjuntos cerrados de un espacio compacto es una subbase cerrada si y solo si para cada cerrado en un conjunto abierto , existe un finito tal que y . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{<=n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$

Sea un conjunto infinito y sea por un número tal que . Definimos la topología del producto en de la siguiente manera: para , sea , y sea . Sea la colección . Tomamos como subbase clopen para nuestra topología en . Esta topología es compacta y de Hausdorff. Para y tales que , tenemos que es un subespacio discreto de , y por lo tanto que es una unión de subespacios discretos. ^[14] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$ ${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle [S]^{k}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n+1}$

Teorema (límite superior en ): Para cada orden total en , hay una subbase cerrada -aria de . ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$

Demostración : Para , definamos y . Establezcamos . Para , y tales que , sea tal que es un subconjunto -enlazado de . Demuestre que . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Para un espacio topológico y un subespacio , decimos que una función continua es una retracción si es la función identidad en . Decimos que es una retracción de . Si existe un conjunto abierto tal que , y es una retracción de , entonces decimos que es una retracción de vecindad de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle r:X\rightarrow A}$ ${\displaystyle r|_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\subset U\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Teorema (Límite inferior de ) Sea tal que . Entonces no puede ser incrustado como un vecindario retraído en ningún espacio con . ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,K\leq n}$

De los dos teoremas anteriores, se puede deducir que para tal que , tenemos que . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}}$

Sea la compactificación de un punto de Alexandroff del espacio discreto , de modo que . Definimos la sobreyección continua por . Se deduce que es un espacio poliádico. Por lo tanto es un espacio poliádico con número de compacidad . ^[14] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1}$

Generalizaciones

Los espacios centrados, los espacios AD-compactos ^[15] y los espacios ξ-ádicos ^[16] son ​​generalizaciones de los espacios poliádicos.

Espacio centrado

Sea una colección de conjuntos. Decimos que está centrada si para todos los subconjuntos finitos . ^[17] Definamos el espacio booleano , con la topología de subespacio de . Decimos que un espacio es un espacio centrado si existe una colección tal que es una imagen continua de . ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$

Los espacios centrados fueron introducidos por Murray Bell en 2004.

Espacio AD-compacto

Sea un conjunto no vacío y consideremos una familia de sus subconjuntos . Decimos que es una familia adecuada si: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• dado , si cada subconjunto finito de está en , entonces . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

Podemos tratarlo como un espacio topológico considerándolo un subconjunto del cubo de Cantor , y en este caso, lo denotamos . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D^{X}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$

Sea un espacio compacto. Si existe un conjunto y una familia adecuada , tal que es la imagen continua de , entonces decimos que es un espacio AD-compacto. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle K}$

Los espacios AD-compactos fueron introducidos por Grzegorz Plebanek. Demostró que son cerrados bajo productos arbitrarios y compactificaciones de Alexandroff de uniones disjuntas . De ello se deduce que todo espacio poliádico es, por tanto, un espacio AD-compacto. La inversa no es cierta, ya que hay espacios AD-compactos que no son poliádicos. ^[15]

espacio ξ-ádico

Sean y cardinales, y sea un espacio de Hausdorff. Si existe una sobreyección continua de a , entonces se dice que es un espacio ξ-ádico. ^[16] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios ξ-ádicos fueron propuestos por S. Mrówka, y los siguientes resultados sobre ellos fueron dados por János Gerlits (también se aplican a los espacios poliádicos, ya que son un caso especial de espacios ξ-ádicos). ^[19]

Sea un cardinal infinito, y sea un espacio topológico. Decimos que tiene la propiedad si para cualquier familia de subconjuntos abiertos no vacíos de , donde , podemos encontrar un conjunto y un punto tales que y para cada entorno de , tenemos que . ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$

Si es un espacio ξ-ádico, entonces tiene la propiedad para cada cardinal infinito . De este resultado se deduce que ningún espacio de Hausdorff ξ-ádico infinito puede ser un espacio extremamente desconectado . ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Espacio hiádico

Los espacios hiádicos fueron introducidos por Eric van Douwen . ^[20] Se definen de la siguiente manera.

Sea un espacio de Hausdorff. Denotamos por el hiperespacio de . Definimos el subespacio de por . Una base de es la familia de todos los conjuntos de la forma , donde es cualquier entero, y son abiertos en . Si es compacto, entonces decimos que un espacio de Hausdorff es hiádico si existe una sobreyección continua de a . ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J_{2}(X)}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Los espacios poliádicos son hiádicos. ^[22]

Véase también

• Espacio diádico
• Compacto de Eberlein
• Espacio de piedra
• Compactación de piedra-Čech
• Espacio supercompacto

Referencias

1. Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti ; Vaughan, Jerry E. (2003). "Compacta diádica". Enciclopedia de Topología General . Ciencia Elsevier . pag. 193.ISBN​ 978-0444503558.
2. Al-Mahrouqi, Sharifa (2013). Espacios topológicos compactos inspirados en construcciones combinatorias (Tesis). Universidad de East Anglia . pp. 8–13.
3. Møller, Jesper M. (2014). "Espacios topológicos y aplicaciones continuas". Topología general . p. 58. ISBN 9781502795878.
4. Tkachuk, Vladimir V. (2011). "Nociones básicas de topología y espacios funcionales". Un libro de problemas de teoría Cp: espacios topológicos y funcionales . Springer Science+Business Media . pág. 35. ISBN 9781441974426.
5. Turzański, Marian (1996). Cubos de Cantor: condiciones de la cadena . Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego . pag. 19.ISBN​ 978-8322607312.
6. Nagata, Jun-Iti (15 de noviembre de 1985). "Temas relacionados con mapeos". Topología general moderna . pag. 298.ISBN​ 978-0444876553.
7. Dikranjan, Dikran; Salce, Luigi (1998). Grupos abelianos, teoría de módulos y topología . Prensa CRC . pag. 339.ISBN​ 9780824719371.
8. Bell, Murray (2005). "Estrechez en espacios poliádicos" ( PDF) . Actas de topología . 25. Universidad de Auburn : 2–74.
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10. Koszmider, Piotr (2012). "Objetos universales y asociaciones entre clases de espacios de Banach y clases de espacios compactos". arXiv : 1209.4294 [math.FA].
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