En matemáticas , un sólido catalán , o dual de Arquímedes , es un poliedro dual con un sólido de Arquímedes . Hay 13 sólidos catalanes. Deben su nombre al matemático belga Eugène Catalan , quien los describió por primera vez en 1865.
Así como los prismas y antiprismas generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, las bipirámides y los trapezoedros generalmente no se consideran sólidos catalanes, a pesar de ser transitivos por las caras.
Once de los 13 sólidos catalanes tienen la propiedad de Rupert : una copia del sólido, de igual o mayor forma, puede pasar a través de un agujero del sólido. [1]
Lista de sólidos catalanes y sus duales
Simetría
Los sólidos catalanes, junto con sus sólidos duales de Arquímedes , se pueden agrupar en aquellos de simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica. Tanto para la simetría octaédrica como para la icosaédrica existen seis formas. El único sólido catalán con simetría tetraédrica genuina es el tetraedro triakis (dual del tetraedro truncado ). El dodecaedro rómbico y el hexaedro tetrakis tienen simetría octaédrica, pero se pueden colorear para que solo tengan simetría tetraédrica. La rectificación y el desaire también existen con simetría tetraédrica, pero son platónicos en lugar de arquímedes, por lo que sus duales son platónicos en lugar de catalanes. (Se muestran con fondo marrón en la siguiente tabla).
Geometría
Todos los ángulos diédricos de un sólido catalán son iguales. Denotando su valor por y denotando el ángulo de la cara en los vértices donde las caras se encuentran por , tenemos
.
Esto se puede utilizar para calcular y , , ... , desde , ... únicamente.
caras triangulares
De los 13 sólidos catalanes, 7 tienen caras triangulares. Estos son de la forma Vp.qr, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Los ángulos , y se pueden calcular de la siguiente manera. Poner , y poner
.
Entonces
,
.
For y las expresiones son similares, por supuesto. El ángulo diédrico se puede calcular a partir de
De los 13 sólidos catalanes, 4 tienen caras cuadriláteras. Estos son de la forma Vp.qpr, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4 y 5. El ángulo se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
.
A partir de esto, y el ángulo diédrico se pueden calcular fácilmente. Alternativamente, ponga , , . Entonces y se puede encontrar aplicando las fórmulas para el caso triangular. Por supuesto, el ángulo se puede calcular de manera similar. Las caras son cometas , o, en su caso , rombos . Aplicando esto, por ejemplo, al icositetraedro deltoidal ( , y ), obtenemos .
caras pentagonales
De los 13 sólidos catalanes, 2 tienen caras pentagonales. Estos tienen la forma Vp.pppq, donde p=3 y q=4 o 5. El ángulo se puede calcular resolviendo una ecuación de grado tres:
.
Propiedades métricas
Para un sólido catalán sea el dual respecto a la media esfera de . Entonces es un sólido de Arquímedes con la misma mediaesfera. Denota la longitud de los bordes de por . Sea el inradio de las caras de , el radio medio de y , el inradio de y el circunradio de . Entonces estas cantidades se pueden expresar en y el ángulo diédrico de la siguiente manera:
,
,
,
.
Estas cantidades están relacionadas por , y .
Como ejemplo, sea un cuboctaedro con una longitud de arista . Entonces es un dodecaedro rómbico. Aplicando la fórmula para caras de cuadriláteros con y se obtiene , por lo tanto , , .
Todos los vértices de de tipo se encuentran en una esfera con radio dado por
,
y de manera similar para .
Dualmente, hay una esfera que toca todas las caras de las cuales hay -gónos regulares (y de manera similar para ) en su centro. El radio de esta esfera está dado por
.
Estos dos radios están relacionados por . Continuando con el ejemplo anterior: y , que da , y .
Si es un vértice de de tipo , un borde de que comienza en y el punto donde el borde toca la esfera media de , denota la distancia por . Entonces los bordes de los vértices de unión de tipo y tipo tienen longitud . Estas cantidades se pueden calcular mediante
,
y de manera similar para . Continuando con el ejemplo anterior: , , , , entonces las aristas del dodecaedro rómbico tienen longitud .
Los ángulos diédricos entre las caras -gonal y -gonal de satisfacen
.
Terminando el ejemplo del dodecaedro rómbico, el ángulo diédrico del cuboctaedro viene dado por .
Todas las fórmulas de esta sección se aplican a los sólidos platónicos , y también a las bipirámides y trapezoedros con ángulos diédricos iguales, porque pueden derivarse únicamente de la propiedad del ángulo diédrico constante. Para el trapezoedro pentagonal , por ejemplo, con caras V3.3.5.3, obtenemos , o . Esto no es sorprendente: es posible cortar ambos vértices de tal manera que se obtenga un dodecaedro regular .
^ Fredriksson, Albin (2024), "Optimización de la propiedad de Rupert", The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200
^ Weisstein, Eric W. "Sólido de Arquímedes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de julio de 2022 .
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Alan Holden Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991.
Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
Antonio Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Prensa de la Universidad de California Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes
enlaces externos
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