Johnson sólido

En geometría , un sólido de Johnson , a veces también conocido como sólido de Johnson-Zalgaller , es un poliedro estrictamente convexo cuyas caras son polígonos regulares . A veces se definen para excluir los poliedros uniformes . Hay noventa y dos sólidos con tal propiedad: los primeros sólidos son las pirámides , cúpulas . y una rotonda ; Algunos de los sólidos pueden construirse uniéndolos con esos sólidos anteriores, mientras que otros no. Estos sólidos llevan el nombre de los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller .

Definición y antecedentes

Entre estos tres poliedros, sólo el primero, la girobicúpula cuadrada alargada , es un sólido de Johnson. La segunda, la stella octangula , no es convexa , ya que algunas de sus diagonales quedan fuera de la forma. El tercero presenta caras coplanares .

Un sólido de Johnson es un poliedro convexo cuyas caras son todas polígonos regulares . ^[1] Aquí, se dice que un poliedro es convexo si el camino más corto entre dos de sus vértices se encuentra dentro de su interior o en su límite, ninguna de sus caras es coplanar (lo que significa que no comparten el mismo plano y no no "queda plana"), y ninguno de sus bordes es colineal (lo que significa que no son segmentos de la misma línea). ^[2]^[3] Aunque no existe ninguna restricción de que cualquier polígono regular dado no pueda ser una cara de un sólido de Johnson, algunos autores exigieron que los sólidos de Johnson no sean uniformes . Esto significa que un sólido de Johnson no es un sólido platónico , un sólido de Arquímedes , un prisma o un antiprisma . ^[4]^[5] Un poliedro convexo en el que todas las caras son casi regulares, pero algunas no son precisamente regulares, se conoce como sólido de Johnson cercano . ^[6]

El sólido de Johnson, a veces conocido como sólido de Johnson-Zalgaller, lleva el nombre de dos matemáticos, Norman Johnson y Victor Zalgaller . ^[7] Johnson (1966) publicó una lista que incluía noventa y dos sólidos de Johnson, excluyendo los cinco sólidos platónicos, los trece sólidos de Arquímedes, los infinitos prismas uniformes y los infinitos antiprismas uniformes, y les dio sus nombres y números. No demostró que sólo fueran noventa y dos, pero sí conjeturó que no había más. ^[8] Zalgaller (1969) demostró que la lista de Johnson estaba completa. ^[9]

Denominación y enumeración

La denominación de los sólidos de Johnson sigue una fórmula descriptiva flexible y precisa que permite nombrar muchos sólidos de múltiples maneras diferentes sin comprometer la precisión de cada nombre como descripción. La mayoría de los sólidos de Johnson se pueden construir a partir de los primeros sólidos ( pirámides , cúpulas y una rotonda ), junto con los sólidos, prismas y antiprismas platónicos y de Arquímedes ; el centro del nombre de un sólido en particular reflejará estos ingredientes. A partir de ahí, se adjuntan una serie de prefijos a la palabra para indicar adiciones, rotaciones y transformaciones: ^[10]

Bi- indica que dos copias del sólido están unidas base con base. Para cúpulas y rotondas, los sólidos se pueden unir de modo que se encuentren caras iguales ( orto- ) o diferentes ( giro- ). Usando esta nomenclatura, una bipirámide pentagonal es un sólido construido uniendo dos bases de pirámides pentagonales. La ortobicúpula triangular está construida por dos cúpulas triangulares a lo largo de sus bases.
Alargado indica que un prisma está unido a la base del sólido, o entre las bases; giroelongado indica un antiprisma . Aumentado indica que otro poliedro, concretamente una pirámide o cúpula , está unido a una o más caras del sólido en cuestión.
Disminuido indica que se retira una pirámide o cúpula de una o más caras del sólido en cuestión.
Girar indica que una cúpula montada o destacada en el sólido en cuestión se gira de manera que los diferentes bordes coincidan, como en la diferencia entre ortobicúpulas y girobicúpolas.

Se pueden encontrar ejemplos de para y meta en el prisma hexagonal parabiaumentado y el prisma hexagonal metabiaumentado.

Las últimas tres operaciones ( aumento , disminución y giro ) se pueden realizar varias veces para ciertos sólidos grandes. Bi- y Tri- indican una operación doble y triple respectivamente. Por ejemplo, un sólido bigirato tiene dos cúpulas rotadas y un sólido tridiminuido tiene tres pirámides o cúpulas eliminadas. En ciertos sólidos grandes, se hace una distinción entre sólidos donde las caras alteradas son paralelas y sólidos donde las caras alteradas son oblicuas. Para- indica el primero, que el sólido en cuestión tiene caras paralelas alteradas, y meta- el segundo, caras oblicuas alteradas. Por ejemplo, a un sólido parabiaumentado se le han aumentado dos caras paralelas, y a un sólido metabigirato se le han aumentado dos caras oblicuas. ^[10]

Los últimos sólidos de Johnson tienen nombres basados en ciertos complejos poligonales a partir de los cuales se ensamblan. Estos nombres son definidos por Johnson con la siguiente nomenclatura: ^[10]

Una luna es un complejo de dos triángulos unidos a lados opuestos de un cuadrado.
Esfeno : indica un complejo en forma de cuña formado por dos lunes adyacentes. Disfeno- indica dos de esos complejos.
Hebespheno : indica un complejo contundente de dos lunes separados por una tercera luna.
Corona es un complejo en forma de corona de ocho triángulos.
Megacorona es un complejo más grande en forma de corona de doce triángulos.
El sufijo - cíngulo indica un cinturón de doce triángulos.

La enumeración de sólidos de Johnson se puede indicar como , donde se indica la enumeración de la lista (un ejemplo se indica el primer sólido de Johnson, la pirámide cuadrada equilátera). ^[7] La siguiente es la lista de noventa y dos sólidos de Johnson, con la enumeración seguida según la lista de Johnson (1966): ${\ Displaystyle J_ {n}}$ $n$ ${\ Displaystyle J_ {1}}$

Algunos de los sólidos de Johnson pueden clasificarse como poliedros elementales . Esto significa que el poliedro no puede separarse por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares; ejemplos de sólidos de Johnson son los primeros seis sólidos de Johnson: pirámide cuadrada , pirámide pentagonal , cúpula triangular , cúpula cuadrada , cúpula pentagonal y rotonda pentagonal : icosaedro tridisminuido , rombicosidodecaedro parabidiminuido , rombicosidodecaedro tridisminuido , disfenoide chato , antiprisma cuadrado chato , esfenocorona , esfenomegacorona , hebesphenomegacorona , disphenocingulum , bilunabirotunda y hebesphenorotunda triangular . ^[8]^[11]

Propiedades

Según la definición anterior, un sólido de Johnson es un poliedro convexo con polígonos regulares como caras. Sin embargo, existen varias propiedades que posee cada uno de ellos.

Tienen la propiedad de Rupert , lo que significa que tienen poliedros del mismo tamaño o mayor que pueden pasar a través de un agujero en su interior. Sin embargo, los otros cinco sólidos de Johnson no tienen esta propiedad: rombicosidodecaedro giratorio , rombicosidodecaedro parabigirato , rombicosidodecaedro metabigirato , rombicosidodecaedro trigirado y rombicosidodecaedro disminuido paragiro . ^[12]
De todos los sólidos de Johnson, la girobicúpula cuadrada alargada (también llamada pseudorombicuboctaedro) es única por ser localmente uniforme en los vértices: hay cuatro caras en cada vértice y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo. Sin embargo, no es transitivo de vértice , ya que tiene diferente isometría en diferentes vértices, lo que lo convierte en un sólido de Johnson en lugar de un sólido de Arquímedes . ^[13]^[14]^[15]

Referencias

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enlaces externos

Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [Poliedros convexos de caras regulares] (PDF) . Topología estructural (6): 83–95.
Modelos en papel de poliedros Archivado el 26 de febrero de 2013 en Wayback Machine Muchos enlaces
Sólidos Johnson de George W. Hart.
Imágenes de los 92 sólidos, categorizados, en una sola página
Weisstein, Eric W. "Johnson Sólido". MundoMatemático .
Modelos VRML de Johnson Solids por Jim McNeill
Modelos VRML de Johnson Solids por Vladimir Bulatov
El proyecto de descubrimiento de policora CRF intenta descubrir policora CRF Archivado el 31 de octubre de 2020 en Wayback Machine ( politopos convexos de 4 dimensiones con polígonos regulares como caras bidimensionales ), una generalización de los sólidos de Johnson al espacio de 4 dimensiones.
https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ un generador de poliedros y operaciones de Conway aplicadas a ellos, incluidos los sólidos de Johnson.