Rombicosidodecaedro girado

72.o Johnson sólido

En geometría , el rombicosidodecaedro girado es uno de los sólidos de Johnson ( J ₇₂ ). También es un poliedro canónico .

Un sólido de Johnson es uno de los 92 poliedros estrictamente convexos que están compuestos por caras de polígonos regulares pero no son poliedros uniformes (es decir, no son sólidos platónicos , sólidos arquimedianos , prismas o antiprismas ). Fueron nombrados por Norman Johnson , quien enumeró por primera vez estos poliedros en 1966. ^[1]

Construcción

El rombicosidodecaedro girado se puede construir de manera similar al rombicosidodecaedro : se construye a partir de un rombicosidodecaedro parabidisminuido uniendo dos cúpulas pentagonales regulares a sus caras decagonales . Como resultado, estas cúpulas pentagonales cubren sus caras dodecagonales, por lo que el poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros , 30 cuadrados y 10 pentágonos regulares como caras. La diferencia entre estos dos poliedros es que una de las dos cúpulas pentagonales del rombicosidodecaedro girado está rotada 36°. ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares se llama sólido de Johnson , y el rombicosidodecaedro girado se encuentra entre ellos, enumerado como el 72.º sólido de Johnson . ^[3] ${\displaystyle J_{72}}$

Diferencia entre el rombicosidodecaedro (izquierda) y el rombicosidodecaedro girado (derecha) por su construcción

Propiedades

Como los dos poliedros mencionados anteriormente tienen una construcción similar, tienen la misma área superficial y volumen. Un rombicosidodecaedro girado con una longitud de arista tiene un área superficial sumando todas las áreas de sus caras: ^[2] Su volumen se puede calcular dividiendo el rombicosidodecaedro en dos cúpulas pentagonales regulares y un rombicosidodecaedro parabigirado, y sumando sus volúmenes: ^[2] $${\displaystyle \left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59.306a^{2}.}$$ $${\displaystyle {\frac {60+29{\sqrt {5}}}{3}}a^{3}\approx 41.615a^{3}.}$$

El rombicosidodecaedro girado es uno de los cinco sólidos de Johnson que no tienen la propiedad de Rupert , es decir, un poliedro del mismo tamaño o mayor y la misma forma, ya que no puede pasar a través de un agujero en él. Los otros sólidos de Johnson que no tienen dicha propiedad son el rombicosidodecaedro parabigirado , el rombicosidodecaedro metabigirado , el rombicosidodecaedro trigirado y el rombicosidodecaedro disminuido parabigirado . ^[4]

Véase también

Los sólidos de Johnson alternativos, construidos rotando diferentes cúpulas de un rombicosidodecaedro, son:

• El rombicosidodecaedro parabigirado donde dos cúpulas opuestas están rotadas; ${\displaystyle J_{73}}$
• El rombicosidodecaedro metabigirato donde dos cúpulas no opuestas están rotadas; ${\displaystyle J_{74}}$
• Y el rombicosidodecaedro trigirado donde giran tres cúpulas. ${\displaystyle J_{75}}$

Referencias

1. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169–200, doi :10.4153/cjm-1966-021-8, MR  0185507, Zbl  0132.14603.
2. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
3. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus acrónimos", Word Ways , 46 (3): 177.
4. Fredriksson, Albin (2024), "Optimización para la propiedad de Rupert", The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi :10.1080/00029890.2023.2285200.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Rombicosidodecaedro giratorio" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .