Prisma triangular biaumentado

50.° Johnson sólido

Modelo 3D de un prisma triangular biaumentado

En geometría , el prisma triangular biamplificado es un poliedro construido a partir de un prisma triangular uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a dos de sus caras cuadradas . Es un ejemplo de sólido de Johnson . Se puede encontrar en estereoquímica en geometría molecular prismática trigonal bicapipeda .

Construcción

El prisma triangular biamplificado se puede construir a partir de un prisma triangular uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a sus dos caras cuadradas, un proceso conocido como aumento . ^[1] Estas pirámides cubren la cara cuadrada del prisma, por lo que el poliedro resultante tiene 10 triángulos equiláteros y 1 cuadrado como caras. ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares es un sólido de Johnson . El prisma triangular biamplificado se encuentra entre ellos, enumerado como el sólido de Johnson n . ° 50. ^[3] ${\displaystyle J_{50}}$

Propiedades

Un prisma triangular biaumentado con una longitud de arista tiene un área de superficie, calculada sumando el área de diez triángulos equiláteros y un cuadrado: ^[2] Su volumen se puede obtener cortándolo en un prisma triangular regular y dos pirámides cuadradas equiláteras, y sumando sus volúmenes posteriormente: ^[2] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {2+5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 5.3301a^{2}.}$$ $${\displaystyle {\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}a^{3}\approx 0.904a^{3}.}$$

Tiene un grupo de simetría tridimensional del grupo cíclico de orden 4. Su ángulo diedro se puede calcular sumando el ángulo de una pirámide cuadrada equilátera y un prisma triangular regular de la siguiente manera: ^[4] ${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$

• El ángulo diedro de un prisma triangular biaumentado entre dos triángulos adyacentes es el de una pirámide cuadrada equilátera entre dos caras triangulares adyacentes, ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• El ángulo diedro de un prisma triangular biaumentado entre cuadrado y triángulo es el ángulo diedro de un prisma triangular entre la base y su cara lateral, ${\textstyle \pi /2=90^{\circ }}$
• El ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre una cara triangular y su base es . El ángulo diedro de un prisma triangular entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero . Por lo tanto, el ángulo diedro de un prisma triangular biaumentado entre un cuadrado (la cara lateral del prisma triangular) y un triángulo (la cara lateral de la pirámide cuadrada equilátera) en el borde donde la pirámide cuadrada equilátera está unida a la cara cuadrada del prisma triangular, y entre dos triángulos adyacentes (la cara lateral de ambas pirámides cuadradas equiláteras) en el borde donde dos pirámides cuadradas equiláteras están unidas adyacentemente al prisma triangular, son ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$ ${\textstyle \pi /3=60^{\circ }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 114.7^{\circ },\\2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 169.4^{\circ }.\end{aligned}}}$$
• El ángulo diedro de un prisma triangular biaumentado entre dos triángulos adyacentes (la base de un prisma triangular y la cara lateral de una pirámide cuadrada equilátera) en el borde donde la pirámide cuadrada equilátera está unida al prisma triangular, es: $${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.5^{\circ }.}$$

Apariencia

El prisma triangular biamplificado se puede encontrar en estereoquímica , como una forma estructural de un compuesto químico conocido como geometría molecular prismática trigonal bicapipada . Es una de las tres formas comunes para complejos de metales de transición con ocho vértices además de la estructura química distinta del antiprisma cuadrado y el disfenoide romo . Un ejemplo de dicha estructura es el bromuro de plutonio (III) PuBr ₃ adoptado por bromuros y yoduros de los lantánidos y actínidos . ^[5]

Referencias

1. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert. Textos y lecturas de matemáticas. Hindustan Book Agency. pág. 84-89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
3. Francis, Darryl (agosto de 2013). "Sólidos de Johnson y sus acrónimos". Word Ways . 46 (3): 177.
4. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos con caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
5. Wells, AF (1984). Química inorgánica estructural (5.ª ed.). Oxford University Press . págs. 78-79, 420-423. ISBN. 978-0-19-965763-6.