En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico de prismas es un gráfico que tiene uno de los prismas como esqueleto.
Los gráficos individuales pueden llevar el nombre del sólido asociado:
Aunque geométricamente los polígonos estelares también forman las caras de una secuencia diferente de poliedros prismáticos (autointersectantes y no convexos), las gráficas de estos prismas estelares son isomorfas a las gráficas de los prismas y no forman una secuencia separada de gráficas.
Los gráficos de prisma son ejemplos de gráficos de Petersen generalizados , con parámetros GP ( n , 1). También se pueden construir como el producto cartesiano de un gráfico de ciclo con un solo borde. [1]
Como ocurre con muchos gráficos transitivos de vértices, los gráficos de prismas también se pueden construir como gráficos de Cayley . El grupo diédrico de orden n es el grupo de simetrías de un n -gón regular en el plano; actúa sobre el n -gon mediante rotaciones y reflexiones. Puede generarse mediante dos elementos, una rotación de un ángulo de 2 π / n y una sola reflexión, y su gráfico de Cayley con este conjunto generador es el gráfico de prisma. De manera abstracta, el grupo tiene la presentación (donde r es una rotación y f es una reflexión o giro) y el gráfico de Cayley tiene r y f (o r , r −1 y f ) como sus generadores. [1]
Las gráficas de prismas n -gonales con valores impares de n se pueden construir como gráficas circulantes . Sin embargo, esta construcción no funciona para valores pares de n . [1]
La gráfica de un prisma n -gonal tiene 2 n vértices y 3 n aristas. Son gráficas cúbicas regulares . Dado que el prisma tiene simetrías que llevan cada vértice entre sí, las gráficas del prisma son gráficas transitivas de vértice . Como gráficos poliédricos , también son gráficos planos conectados por 3 vértices . Todo gráfico de prisma tiene un ciclo hamiltoniano . [2]
Entre todas las gráficas cúbicas biconectadas , las gráficas prismáticas tienen dentro de un factor constante el mayor número posible de 1-factorizaciones . Una factorización 1 es una partición del conjunto de bordes del gráfico en tres coincidencias perfectas o, de manera equivalente, una coloración de bordes del gráfico con tres colores. Cada gráfico cúbico biconectado de n -vértices tiene O (2 n /2 ) 1-factorizaciones, y los gráficos de prisma tienen Ω (2 n /2 ) 1-factorizaciones. [3]
El número de árboles de expansión de un gráfico de prisma n -gonal viene dado por la fórmula [4]
Para n = 3, 4, 5, ... estos números son
Las gráficas de prismas n -gonales para valores pares de n son cubos parciales . Forman una de las pocas familias infinitas conocidas de cubos parciales cúbicos y (a excepción de cuatro ejemplos esporádicos) los únicos cubos parciales cúbicos transitivos por vértices. [5]
El prisma pentagonal es uno de los menores prohibidos para las gráficas de árbol de ancho tres. [6] El prisma triangular y el gráfico del cubo tienen un ancho de árbol exactamente tres, pero todos los gráficos de prisma más grandes tienen un ancho de árbol cuatro.
Otras secuencias infinitas de gráficos poliédricos formadas de manera similar a partir de poliedros con bases de polígonos regulares incluyen los gráficos de antiprisma (gráficos de antiprismas ) y los gráficos de rueda (gráficos de pirámides ). Otros gráficos poliédricos transitivos por vértices incluyen los gráficos de Arquímedes .
Si los dos ciclos de un gráfico de prisma se rompen mediante la eliminación de un solo borde en la misma posición en ambos ciclos, el resultado es un gráfico de escalera . Si estas dos aristas eliminadas se reemplazan por dos aristas cruzadas, el resultado es un gráfico no plano llamado escalera de Möbius . [7]
