Catalán sólido

13 polyhedra; duals of the Archimedean solids

Tetraedro triakis , icositetraedro pentagonal y triacontaedro disdyakis .

Los sólidos de arriba (oscuros) se muestran junto con sus duales (claros). Las partes visibles de los sólidos catalanes son pirámides regulares .

Un dodecaedro rómbico con su configuración de caras .

En matemáticas , un sólido catalán , o dual arquimediano , es un poliedro que es dual de un sólido arquimediano . Existen 13 sólidos catalanes. Su nombre se debe al matemático belga Eugène Catalan , quien los describió por primera vez en 1865.

Los sólidos catalanes son todos convexos . Son transitivos por las caras pero no por los vértices . Esto se debe a que los sólidos arquimedianos duales son transitivos por los vértices y no por las caras. Nótese que a diferencia de los sólidos platónicos y los sólidos arquimedianos , las caras de los sólidos catalanes no son polígonos regulares . Sin embargo, las figuras de los vértices de los sólidos catalanes son regulares y tienen ángulos diedros constantes . Al ser transitivos por las caras, los sólidos catalanes son isoedros .

Además, dos de los sólidos catalanes son transitivos en sus aristas : el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico . Estos son los duales de los dos sólidos arquimedianos cuasirregulares .

Así como los prismas y antiprismas generalmente no se consideran sólidos arquimedianos, las bipirámides y los trapezoedros generalmente no se consideran sólidos catalanes, a pesar de ser transitivos en sus caras.

Dos de los sólidos Catalans son quirales : el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal , duales del cubo romo y del dodecaedro romo quirales . Cada uno de ellos se presenta en dos enantiomorfos . Sin contar los enantiomorfos, las bipirámides y los trapezoedros, hay un total de 13 sólidos Catalans.

Once de los trece sólidos catalanes tienen la propiedad de Rupert : una copia del sólido, de la misma forma o de mayor tamaño, puede pasar a través de un agujero en el sólido. ^[1]

Lista de los sólidos catalanes y sus duales

Simetría

Los sólidos catalanes, junto con sus sólidos arquimedianos duales , se pueden agrupar en aquellos con simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica. Para la simetría octaédrica e icosaédrica hay seis formas. El único sólido catalán con simetría tetraédrica genuina es el triakis tetraedro (dual del tetraedro truncado ). El dodecaedro rómbico y el tetrakis hexaedro tienen simetría octaédrica, pero se pueden colorear para que tengan solo simetría tetraédrica. La rectificación y el romo también existen con simetría tetraédrica, pero son platónicos en lugar de arquimedianos, por lo que sus duales son platónicos en lugar de catalanes. (Se muestran con fondo marrón en la tabla siguiente).

Geometría

Todos los ángulos diedros de un sólido catalán son iguales. Denotando su valor por , y denotando el ángulo de la cara en los vértices donde las caras se encuentran por , tenemos ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}$.

Esto se puede utilizar para calcular y , , ... , desde , ... solamente. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Caras triangulares

De los 13 sólidos catalanes, 7 tienen caras triangulares. Estas son de la forma Vp.qr, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Los ángulos , y se pueden calcular de la siguiente manera. Supóngase , y supóngase ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}$

${\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Entonces

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

Por supuesto , las expresiones son similares. El ángulo diedro se puede calcular a partir de ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

Aplicando esto, por ejemplo, al triacontaedro disdyakis ( , y , por lo tanto , y , donde es la proporción áurea ) se obtiene y . ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=6}$ ${\displaystyle r=10}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=\phi +2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$

Caras cuadriláteras

De los 13 sólidos catalanes, 4 tienen caras cuadriláteras. Estas son de la forma Vp.qpr, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4 y 5. El ángulo se puede calcular con la siguiente fórmula: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

A partir de esto, , y se puede calcular fácilmente el ángulo diedro. Alternativamente, ponga , , . Entonces y se pueden encontrar aplicando las fórmulas para el caso triangular. El ángulo se puede calcular de manera similar, por supuesto. Las caras son cometas , o, si , rombos . Aplicando esto, por ejemplo, al icositetraedro deltoidal ( , y ), obtenemos . ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle q=r}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle r=4}$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$

Caras pentagonales

De los 13 sólidos catalanes, 2 tienen caras pentagonales. Estas tienen la forma Vp.pppq, donde p=3 y q=4 o 5. El ángulo se puede calcular resolviendo una ecuación de grado tres: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Propiedades métricas

Para un sólido catalán, sea el dual con respecto a la esfera media de . Entonces es un sólido arquimediano con la misma esfera media. Denote la longitud de las aristas de por . Sea el inradio de las caras de , el radio medio de y , el inradio de , y el radio circunscrito de . Entonces estas cantidades se pueden expresar en y el ángulo diedro de la siguiente manera: ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Estas cantidades están relacionadas por , y . ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$ ${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$ ${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$

Como ejemplo, supongamos que es un cuboctaedro con una longitud de arista . Entonces es un dodecaedro rómbico. Aplicando la fórmula para las caras cuadriláteras con y se obtiene , por lo tanto , , , . ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=r=3}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$ ${\displaystyle r_{i}=3/4}$ ${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle r_{c}=1}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$

Todos los vértices del tipo se encuentran en una esfera con un radio dado por ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{c,p}}$

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

y lo mismo para . ${\displaystyle q,r,\ldots }$

Dualmente, hay una esfera que toca todas las caras de los cuales son -gonos regulares (y lo mismo para ) en su centro. El radio de esta esfera está dado por ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle r_{i,p}}$

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Estos dos radios están relacionados por . Continuando con el ejemplo anterior: y , lo que da , , y . ${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$ ${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Si es un vértice de de tipo , una arista de que comienza en , y el punto donde la arista toca la esfera media de , denote la distancia por . Entonces las aristas de que unen los vértices de tipo y tipo tienen longitud . Estas cantidades se pueden calcular por ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\prime }}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle PP^{\prime }}$ ${\displaystyle l_{p}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

y de manera similar para . Continuando con el ejemplo anterior: , , , , por lo que los bordes del dodecaedro rómbico tienen longitud . ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$

Los ángulos diedros entre las caras -gonal y -gonal de satisfacen ${\displaystyle \alpha _{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

Terminando el ejemplo del dodecaedro rómbico, el ángulo diedro del cuboctaedro está dado por . ${\displaystyle \alpha _{3,4}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

Construcción

La cara de cualquier poliedro catalán se puede obtener a partir de la figura del vértice del sólido arquimediano dual utilizando la construcción Luke de Dorman . ^[3]

Aplicación a otros sólidos

Todas las fórmulas de esta sección se aplican a los sólidos platónicos , así como a las bipirámides y trapezoedros con ángulos diedros iguales, ya que pueden derivarse únicamente de la propiedad del ángulo diedro constante. Para el trapezoedro pentagonal , por ejemplo, con caras V3.3.5.3, obtenemos , o . Esto no es sorprendente: es posible cortar ambos vértices de tal manera que se obtenga un dodecaedro regular . ${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$

Véase también

• Lista de teselados uniformes Muestra teselados poligonales uniformes duales similares a los sólidos Catalans
• Notación de poliedros de Conway Un proceso de construcción de notación
• Sólido arquimediano
• Johnson sólido

Notas

1. Fredriksson, Albin (2024), "Optimización para la propiedad de Rupert", The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi :10.1080/00029890.2023.2285200
2. Weisstein, Eric W. "Sólido de Arquímedes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de julio de 2022 .
3. Cundy y Rollett (1961), pág. 117; Wenninger (1983), pág. 30.

Referencias

• Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (París) 41, 1-71, 1865.
• Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2.ª ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista internacional de educación matemática en ciencia y tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Alan Holden Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991.
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales)
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Sólidos catalanes". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Isoedro". MundoMatemático .
• Sólidos Catalanes – en Visual Polyhedra
• Duales de Arquímedes – en Virtual Reality Polyhedra
• Sólido Catalán Interactivo en Java
• Enlace de descarga de la publicación original de Catalán de 1865 (con bellas figuras) en formato PDF