Hexaedro tetrakis

Sólido catalán con 24 caras

Compuesto dual de octaedro truncado y tetrakis hexaedro. El grabado de la izquierda es de Perspectiva Corporum Regularium (1568) de Wenzel Jamnitzer .

Modelo de matriz y cristal

Dibujo y modelo cristalino de la variante con simetría tetraédrica denominada hexakis tetraedro ^[1]

En geometría , un tetrakis hexaedro (también conocido como tetrahexaedro , hextetraedro , tetrakis cubo y kiscubo ^[2] ) es un sólido de Catalan . Su dual es el octaedro truncado , un sólido de Arquímedes .

Se le puede llamar hexaedro disdyakis o hexakis tetraedro como el dual de un tetraedro omnitruncado , y como la subdivisión baricéntrica de un tetraedro. ^[3]

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los 14 vértices de un tetrakis hexaedro centrado en el origen son los puntos $${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3}{2}}},0,0{\bigr )},\ {\bigl (}0,\pm {\tfrac {3}{2}},0{\bigr )},\ {\bigl (}0,0,\pm {\tfrac {3}{2}}{\bigr )},\ {\bigl (}{\pm 1},\pm 1,\pm 1{\bigr )}.}$$

La longitud de las aristas más cortas de este tetrakis hexaedro es igual a 3/2 y la de las aristas más largas es igual a 2. Las caras son triángulos isósceles acutángulos. El ángulo mayor de estos es igual a 3/2 y los dos más pequeños son iguales a 2/2 . ${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{9}}\approx 83.62^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.19^{\circ }}$

Proyecciones ortogonales

El tetrakis hexaedro , dual del octaedro truncado , tiene 3 posiciones de simetría, dos ubicadas en los vértices y una en la arista media.

Usos

Se observan formaciones naturales ( cristalinas ) de tetrahexaedros en sistemas de cobre y fluorita .

Los jugadores utilizan ocasionalmente dados poliédricos con forma de tetrakis hexaedro .

Una proyección de perspectiva de vértice primero muestra una topología de superficie de un tetrakis hexaedro y las proporciones geométricas del dodecaedro rómbico , con las caras rómbicas divididas en dos triángulos.

El tetrakis hexaedro aparece como uno de los ejemplos más simples en la teoría de la construcción . Considérese el espacio simétrico de Riemann asociado al grupo SL ₄ ( R ) . Su límite Tits tiene la estructura de un edificio esférico cuyos departamentos son esferas bidimensionales. La partición de esta esfera en símplices esféricos (cámaras) se puede obtener tomando la proyección radial de un tetrakis hexaedro.

Simetría

Con simetría tetraédrica T _d , [3,3] (*332) , las caras triangulares representan los 24 dominios fundamentales de la simetría tetraédrica. Este poliedro se puede construir a partir de 6 círculos máximos sobre una esfera. También se puede ver como un cubo con sus caras cuadradas trianguladas por sus vértices y centros de caras y un tetraedro con sus caras divididas por vértices, aristas medias y un punto central.

Las aristas del tetrakis hexaedro esférico pertenecen a seis círculos mayores, que corresponden a planos especulares en simetría tetraédrica . Pueden agruparse en tres pares de círculos ortogonales (que normalmente se intersecan en un eje de coordenadas cada uno). En las imágenes que aparecen a continuación, estos hosoedros cuadrados están coloreados en rojo, verde y azul.

Dimensiones

Si denotamos la longitud de la arista del cubo base por a , la altura de cada vértice de la pirámide sobre el cubo es ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{4}}.}$ La inclinación de cada cara triangular de la pirámide con respecto a la cara del cubo es (secuencia A073000 en la OEIS ). Una arista de los triángulos isósceles tiene longitud a , las otras dos tienen longitud ⁠ ⁠ que se deduce al aplicar el teorema de Pitágoras a la altura y la longitud de la base. Esto produce una altitud de en el triángulo ( OEIS : A204188 ). Su área es y los ángulos internos son y los complementarios ${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{2}}\approx 26.565^{\circ }}$ ${\displaystyle {\tfrac {3a}{4}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a^{2}}{8}},}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.1897^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }-2\arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 83.6206^{\circ }.}$

El volumen de la pirámide es ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{12}};}$ por lo que el volumen total de las seis pirámides y el cubo en el hexaedro es ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3a^{3}}{2}}.}$

Kleetopo

Tetrakis hexaedro no convexo con caras triangulares equiláteras

Puede verse como un cubo con pirámides cuadradas que cubren cada cara cuadrada; es decir, es el Kleetope del cubo. Una forma no convexa de esta forma, con caras triangulares equiláteras , tiene la misma geometría de superficie que el octaedro regular , y un modelo de octaedro de papel se puede volver a doblar en esta forma. ^[4] Esta forma del tetrakis hexaedro fue ilustrada por Leonardo da Vinci en la Divina proporción de Luca Pacioli (1509). ^[5]

Esta forma no convexa del tetrakis hexaedro se puede plegar a lo largo de las caras cuadradas del cubo interior como una red para una pirámide cúbica de cuatro dimensiones .

Poliedros y teselaciones relacionados

Se trata de un poliedro de una sucesión definida por la configuración de caras V4.6.2 n . Este grupo es especial por tener todos los números pares de aristas por vértice y formar planos biseccionales a través de los poliedros y líneas infinitas en el plano, y continuar en el plano hiperbólico para cualquier n  ≥ 7.

Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y teselas se pueden mostrar alternando dos colores para que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.

Cada cara de estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría con orden 2,3, n espejos en cada vértice de la cara del triángulo.

Véase también

• Triacontaedro de Disdyakis
• Dodecaedro de Disdyakis
• Azulejos de kisrhombille
• Compuesto de tres octaedros
• Icositetraedro deltoidal , otro sólido catalán de 24 caras.

Referencias

1. Hexakistetraeder en alemán, consulte, por ejemplo, la página de Meyers y la página de Brockhaus . El mismo dibujo aparece en Brockhaus y Efron como преломленный пирамидальный тетраэдр ( tetraedro piramidal refractado ).
2. Conway, Simetrías de las cosas , pág. 284
3. Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflexiones sobre la lemniscata de Bernoulli: las cuarenta y ocho caras de una joya matemática", Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi :10.1007/s00032-010-0124-5, MR  2781856
4. Rus, Jacob (2017), "Flowsnake Earth", en Swart, David; Séquin, Carlo H.; Fenyvesi, Kristóf (eds.), Actas de Bridges 2017: Matemáticas, Arte, Música, Arquitectura, Educación, Cultura , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 237–244, ISBN 978-1-938664-22-9
5. Pacioli, Luca (1509), "Láminas 11 y 12", Divina proporcionale

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 14, Tetrakishexaedro)
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalan, página 284, Hexaedro Tetrakis) 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Tetrakis hexahedron" ("Sólido catalán") en MathWorld .
• Poliedros de realidad virtual www.georgehart.com: La enciclopedia de poliedros
  • Modelo VRML
  • Notación de Conway para poliedros Pruebe: "dtO" o "kC"
• Tetrakis Hexahedron – Modelo poliedro interactivo
• Los poliedros uniformes