Bipirámide triangular alargada

14º Johnson sólido; Prisma triangular rematado con tetraedros.

En geometría , bipirámide triangular alargada (o bipirámide ) o prisma triangular triakis es un poliedro construido a partir de un prisma triangular uniendo dos tetraedros a sus bases. Es un ejemplo del sólido Johnson .

Construcción

La bipirámide triangular alargada se construye a partir de un prisma triangular uniendo dos tetraedros a sus bases, un proceso conocido como alargamiento . ^[1] Estos tetraedros cubren las caras triangulares de manera que el poliedro resultante tiene nueve caras (seis de ellas son triángulos equiláteros y tres de ellas cuadrados ), quince aristas y ocho vértices. ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares es el sólido de Johnson . La bipirámide alargada es una de ellas, enumerada como el decimocuarto sólido de Johnson . ^[3] ${\displaystyle J_{14}}$

Propiedades

Modelo 3D de una bipirámide triangular alargada.

El área de la superficie de una bipirámide triangular alargada es la suma del área de todas las caras poligonales: seis triángulos equiláteros y tres cuadrados. El volumen de una bipirámide triangular alargada se puede determinar cortándola en dos tetraedros y un prisma triangular regular y luego sumando su volumen. La altura de una bipirámide triangular alargada es la suma de dos tetraedros y la altura de un prisma triangular regular. Por lo tanto, dada la longitud del borde , su área de superficie y volumen se formulan como: ^{[2] [4]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}+3\right)a^{2}\approx 5.598a^{2},\\V&=\left({\frac {\sqrt {2}}{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\approx 0.669a^{3},\\h&=\left({\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}+1\right)\cdot a\approx \cdot 2.633a.\end{aligned}}}$$

Tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que el prisma triangular, el grupo diédrico de orden doce. El ángulo diédrico de una bipirámide triangular alargada se puede calcular sumando el ángulo del tetraedro y el prisma triangular: ^[5] ${\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}$

• el ángulo diédrico de un tetraedro entre dos caras triangulares adyacentes es ; ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70.5^{\circ }}$
• el ángulo diédrico del prisma triangular entre el cuadrado y sus bases es , y el ángulo diédrico entre el cuadrado y el triángulo, en el borde donde se unen el tetraedro y el prisma triangular, es ; ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$ ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 160.5^{\circ }}$
• El ángulo diédrico del prisma triangular entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero . ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$

Apariciones

La nirrosula, un instrumento musical africano tejido con tiras de hojas de plantas, está hecha en forma de una serie de bipirámides alargadas con triángulos no equiláteros como caras de sus extremos. ^[6]

Referencias

1. Rajwade, AR (2001), Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert, Textos y lecturas en matemáticas, Hindustan Book Agency, p. 84–89, doi :10.1007/978-93-86279-06-4, ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
3. Uehara, Ryuhei (2020), Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional, Springer, p. 62, doi :10.1007/978-981-15-4470-5, ISBN 978-981-15-4470-5, S2CID  220150682.
4. Sapiña, R., "Área y volumen del sólido de Johnson J 8 {\displaystyle J_{8}}", Problemas y Ecuaciones (en español), ISSN  2659-9899 , ​​consultado el 9 de septiembre de 2020.
5. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
6. Gerdes, Paulus (2009), "Exploración de tecnologías que emergen de las prácticas culturales africanas en la educación matemática (docente)", ZDM Mathematics Education , 42 (1): 11–17, doi :10.1007/s11858-009-0208- 2, S2CID  122791717.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Bipirámide triangular alargada" ("sólido de Johnson") en MathWorld .