Dado un espacio topológico y un grupo que actúa sobre él, las imágenes de un único punto bajo la acción del grupo forman una órbita de la acción. Un dominio fundamental o región fundamental es un subconjunto del espacio que contiene exactamente un punto de cada una de estas órbitas. Sirve como una realización geométrica para el conjunto abstracto de representantes de las órbitas.
Existen muchas formas de elegir un dominio fundamental. Por lo general, se requiere que un dominio fundamental sea un subconjunto conectado con algunas restricciones en su límite, por ejemplo, liso o poliédrico. Las imágenes de un dominio fundamental elegido bajo la acción del grupo luego forman mosaicos en el espacio. Una construcción general de dominios fundamentales utiliza celdas de Voronoi .
Dada una acción de un grupo G sobre un espacio topológico X por homeomorfismos , un dominio fundamental para esta acción es un conjunto D de representantes para las órbitas. Por lo general, se requiere que sea un conjunto razonablemente bueno topológicamente, de una de varias formas definidas con precisión. Una condición típica es que D sea casi un conjunto abierto, en el sentido de que D es la diferencia simétrica de un conjunto abierto en X con un conjunto de medida cero , para una cierta medida (cuasi)invariante en X. Un dominio fundamental siempre contiene un conjunto regular libre U , un conjunto abierto movido por G en copias disjuntas , y casi tan bueno como D en la representación de las órbitas. Con frecuencia, se requiere que D sea un conjunto completo de representantes de clases laterales con algunas repeticiones, pero la parte repetida tiene medida cero. Esta es una situación típica en la teoría ergódica . Si se utiliza un dominio fundamental para calcular una integral en X / G , los conjuntos de medida cero no importan.
Por ejemplo, cuando X es el espacio euclidiano R n de dimensión n , y G es la red Z n que actúa sobre él por traslaciones, el cociente X / G es el toro n -dimensional . Un dominio fundamental D aquí puede tomarse como [0,1) n , que difiere del conjunto abierto (0,1) n por un conjunto de medida cero, o el cubo unitario cerrado [0,1] n , cuyo límite consiste en los puntos cuya órbita tiene más de un representante en D .
Ejemplos en el espacio euclidiano tridimensional R 3 .
En el caso de la simetría traslacional combinada con otras simetrías, el dominio fundamental es parte de la celda primitiva. Por ejemplo, para los grupos de papel tapiz , el dominio fundamental es un factor 1, 2, 3, 4, 6, 8 o 12 más pequeño que la celda primitiva.
El diagrama de la derecha muestra parte de la construcción del dominio fundamental para la acción del grupo modular Γ en el semiplano superior H .
Este famoso diagrama aparece en todos los libros clásicos sobre funciones modulares . (Probablemente era bien conocido por CF Gauss , quien se ocupó de los dominios fundamentales bajo la apariencia de la teoría de reducción de formas cuadráticas ). Aquí, cada región triangular (limitada por las líneas azules) es un conjunto regular libre de la acción de Γ sobre H. Los límites (las líneas azules) no son parte de los conjuntos regulares libres. Para construir un dominio fundamental de H /Γ, uno también debe considerar cómo asignar puntos en el límite, teniendo cuidado de no contar dos veces dichos puntos. Por lo tanto, el conjunto regular libre en este ejemplo es
El dominio fundamental se construye sumando el límite de la izquierda más la mitad del arco de la parte inferior incluido el punto del medio:
La elección de qué puntos del límite incluir como parte del dominio fundamental es arbitraria y varía de un autor a otro.
La dificultad principal de definir el dominio fundamental no reside tanto en la definición del conjunto per se , sino más bien en cómo tratar las integrales sobre el dominio fundamental, al integrar funciones con polos y ceros en el límite del dominio.
