Triángulo rectángulo especial

Triángulo rectángulo con una característica que facilita los cálculos en el triángulo.

Posición de algunos triángulos especiales en un diagrama de Euler de tipos de triángulos, utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos dos lados iguales, es decir, los triángulos equiláteros son isósceles.

Un triángulo rectángulo especial es un triángulo rectángulo con alguna característica regular que facilita los cálculos en el triángulo , o para el cual existen fórmulas simples. Por ejemplo, un triángulo rectángulo puede tener ángulos que forman relaciones simples, como 45°–45°–90°. Esto se llama un triángulo rectángulo "basado en ángulos". Un triángulo rectángulo "basado en lados" es uno en el que las longitudes de los lados forman proporciones de números enteros , como 3 : 4 : 5, o de otros números especiales como la proporción áurea . Conocer las relaciones de los ángulos o las proporciones de los lados de estos triángulos rectángulos especiales permite calcular rápidamente varias longitudes en problemas geométricos sin recurrir a métodos más avanzados.

Basado en ángulos

Los triángulos especiales basados ​​en ángulos inscritos en un círculo unitario son útiles para visualizar y recordar funciones trigonométricas de múltiplos de 30 y 45 grados.

Los triángulos rectángulos especiales basados ​​en ángulos se especifican por las relaciones de los ángulos que componen el triángulo. Los ángulos de estos triángulos son tales que el ángulo más grande (recto), que es de 90 grados oπ/2⁠ radianes , es igual a la suma de los otros dos ángulos.

Las longitudes de los lados se deducen generalmente a partir de la base del círculo unitario u otros métodos geométricos . Este enfoque se puede utilizar para reproducir rápidamente los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°.

Se utilizan triángulos especiales para ayudar a calcular funciones trigonométricas comunes, como se muestra a continuación:

El triángulo 45°–45°–90°, el triángulo 30°–60°–90° y el triángulo equilátero /equiangular (60°–60°–60°) son los tres triángulos de Möbius en el plano, lo que significa que teselan el plano a través de reflexiones en sus lados; ver Grupo de triángulos .

Triángulo de 45° - 45° - 90°

Escuadra con forma de triángulo de 45° - 45° - 90°

Las longitudes de los lados de un triángulo de 45° - 45° - 90°

Triángulo rectángulo de 45° - 45° - 90° con longitud de hipotenusa 1.

En geometría plana , dividir un cuadrado por su diagonal da como resultado dos triángulos rectángulos isósceles , cada uno con un ángulo recto (90°, ⁠π/2⁠ radianes) y otros dos ángulos congruentes que miden cada uno la mitad de un ángulo recto (45°, o ⁠π/4⁠ radianes). Los lados de este triángulo están en la razón 1 : 1 :  √ 2 , lo que se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras .

De todos los triángulos rectángulos, los triángulos de 45° - 45° - 90° grados tienen la menor relación entre la hipotenusa y la suma de los catetos, es decir√ 2/2⁠ . ^{[1] : p. 282, p. 358} y la mayor razón entre la altura de la hipotenusa y la suma de los catetos, es decir ⁠√ 2/4⁠ . ^{[1] : pág. 282}

Los triángulos con estos ángulos son los únicos triángulos rectángulos posibles que también son triángulos isósceles en la geometría euclidiana . Sin embargo, en la geometría esférica y la geometría hiperbólica , existen infinitas formas diferentes de triángulos rectángulos isósceles.

Triángulo de 30° - 60° - 90°

Escuadra con forma de triángulo de 30° - 60° - 90°°

Las longitudes de los lados de un triángulo de 30°–60°–90°

Triángulo rectángulo de 30° - 60° - 90° con longitud de hipotenusa 1.

Se trata de un triángulo cuyos tres ángulos están en la razón 1 : 2 : 3 y miden respectivamente 30° ( ⁠π/6⁠ ), 60° ( ⁠π/3⁠ ), y 90° ( ⁠π/2⁠ ). Los lados están en la proporción 1 :  √ 3  : 2.

La demostración de este hecho es clara mediante trigonometría . La demostración geométrica es:

Dibuje un triángulo equilátero ABC con un lado de longitud 2 y con el punto D como punto medio del segmento BC . Dibuje una línea de altura desde A hasta D. Entonces ABD es un triángulo de 30°–60°–90° con hipotenusa de longitud 2 y base BD de longitud 1.

El hecho de que el cateto restante AD tenga una longitud √ 3 se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras .

El triángulo 30°–60°–90° es el único triángulo rectángulo cuyos ángulos están en progresión aritmética . La prueba de este hecho es sencilla y se deduce del hecho de que si α , α + δ , α + 2 δ son los ángulos de la progresión, entonces la suma de los ángulos 3 α + 3 δ = 180°. Después de dividir por 3, el ángulo α + δ debe ser 60°. El ángulo recto es 90°, dejando el ángulo restante de 30°.

Basado en el lado

Los triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes enteras , conocidos colectivamente como ternas pitagóricas , poseen ángulos que no pueden ser todos números racionales de grados . ^[2] (Esto se desprende del teorema de Niven ). Son muy útiles porque se pueden recordar fácilmente y cualquier múltiplo de los lados produce la misma relación. Usando la fórmula de Euclides para generar ternas pitagóricas, los lados deben estar en la proporción

m2 − n2  : 2mn  : m2 + n2^​​​​

donde m y n son números enteros positivos tales que m > n .

Ternas pitagóricas comunes

Hay varias ternas pitagóricas bien conocidas, incluidas aquellas cuyos lados están en las proporciones:

Los triángulos 3:4:5 son los únicos triángulos rectángulos con aristas en progresión aritmética . Los triángulos basados ​​en ternas pitagóricas son heronianos , es decir, tienen área entera y lados enteros.

El posible uso del triángulo 3:4:5 en el Antiguo Egipto , con el supuesto uso de una cuerda anudada para trazar dicho triángulo, y la cuestión de si el teorema de Pitágoras era conocido en ese momento, han sido muy debatidos. ^[3] Fue conjeturado por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882. ^[3] Se sabe que los ángulos rectos se trazaron con precisión en el Antiguo Egipto; que sus topógrafos usaban cuerdas para medir; ^[3] que Plutarco registró en Isis y Osiris (alrededor del 100 d.C.) que los egipcios admiraban el triángulo 3:4:5; ^[3] y que el Papiro de Berlín 6619 del Reino Medio de Egipto (antes de 1700 a.C.) afirmó que "el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños. El lado de uno es ⁠1/2⁠ + ⁠1/4⁠ el lado del otro." ^[4] El historiador de las matemáticas Roger L. Cooke observa que "es difícil imaginar a alguien interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras". ^[3] En contra de esto, Cooke señala que ningún texto egipcio anterior al 300 a. C. menciona realmente el uso del teorema para encontrar la longitud de los lados de un triángulo, y que hay formas más simples de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta: supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero que "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos". ^[3]

Las siguientes son todas las razones triples pitagóricas expresadas en su forma más baja (más allá de las cinco más pequeñas en su forma más baja en la lista anterior) con ambos lados que no son hipotenusas menores a 256:

Ternas pitagóricas casi isósceles

Los triángulos rectángulos isósceles no pueden tener lados con valores enteros, porque la razón de la hipotenusa con cada uno de los otros lados es √ 2 y √ 2 no se puede expresar como una razón de dos números enteros . Sin embargo, existen infinitos triángulos rectángulos casi isósceles . Estos son triángulos rectángulos con lados enteros para los cuales las longitudes de los bordes que no son la hipotenusa difieren en uno. ^{[5] [6]} Estos triángulos rectángulos casi isósceles se pueden obtener recursivamente,

a0 ₌ 1, b0 ₌ 2

a _n = 2 b _{n −1} + a _{n −1}

b _n = 2 a _n + b _{n −1}

a _n es la longitud de la hipotenusa, n = 1, 2, 3, .... Equivalentemente,

${\displaystyle ({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}$

donde { x , y } son soluciones de la ecuación de Pell x ² − 2 y ² = −1 , siendo la hipotenusa y los términos impares de los números de Pell 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378... (secuencia A000129 en la OEIS ).. Las ternas pitagóricas más pequeñas resultantes son: ^[7]

Alternativamente, los mismos triángulos pueden derivarse de los números triangulares cuadrados . ^[8]

Progresiones aritméticas y geométricas

Un triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica según la proporción áurea .

El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica . Si los lados se forman a partir de la progresión geométrica a , ar , ar ² entonces su razón común r viene dada por r = √ φ donde φ es la proporción áurea . Por lo tanto, sus lados están en la razón 1 : √ φ  : φ . Por lo tanto, la forma del triángulo de Kepler está determinada únicamente (hasta un factor de escala) por el requisito de que sus lados estén en progresión geométrica.

El triángulo 3-4-5 es el único triángulo rectángulo (hasta la escala) cuyos lados están en progresión aritmética . ^[9]

Lados de polígonos regulares

Los lados de un pentágono, un hexágono y un decágono, inscritos en círculos congruentes , forman un triángulo rectángulo.

Sea la longitud del lado de un decágono regular inscrito en el círculo unitario, donde es la proporción áurea. Sea la longitud del lado de un hexágono regular en el círculo unitario, y sea la longitud del lado de un pentágono regular en el círculo unitario. Entonces , por lo que estas tres longitudes forman los lados de un triángulo rectángulo. ^[10] El mismo triángulo forma la mitad de un rectángulo áureo . También se puede encontrar dentro de un icosaedro regular de longitud de lado : el segmento de línea más corto desde cualquier vértice hasta el plano de sus cinco vecinos tiene longitud , y los puntos finales de este segmento de línea junto con cualquiera de los vecinos de forman los vértices de un triángulo rectángulo con lados , , y . ^[11] $${\displaystyle a=2\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle b=2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}$$ $${\displaystyle c=2\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1.176}$$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Véase también

• Rectángulo de Ailles , que combina varios triángulos rectángulos especiales
• Triángulo entero
• Espiral de Teodoro

Referencias

1. Posamentier, Alfred S., y Lehman, Ingmar. Los secretos de los triángulos . Prometheus Books, 2012.
2. Weisstein, Eric W. "Triángulo racional". MundoMatemático .
3. Cooke, Roger L. (2011). Historia de las matemáticas: un breve curso (2.ª ed.). John Wiley & Sons. págs. 237-238. ISBN 978-1-118-03024-0.
4. Gillings, Richard J. (1982). Matemáticas en la época de los faraones . Dover. pág. 161.
5. Olvidar, TW; Larkin, TA (1968), "Tríadas pitagóricas de la forma x, x + 1, z descritas por secuencias de recurrencia" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104.
6. Chen, CC; Peng, TA (1995), "Triángulos rectángulos casi isósceles" (PDF) , The Australasian Journal of Combinatorics , 11 : 263–267, MR  1327342.
7. (secuencia A001652 en la OEIS )
8. Nyblom, MA (1998), "Una nota sobre el conjunto de triángulos rectángulos casi isósceles" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319–322, MR  1640364.
9. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (1997), "Triángulos aritméticos", Mathematics Magazine , 70 (2): 105–115, doi :10.2307/2691431, JSTOR  2691431, MR  1448883.
10. Elementos de Euclides, Libro XIII, Proposición 10.
11. nLab: identidad pentágono decágono hexágono.

Enlaces externos

• Triángulo 3:4:5
• Triángulo 30–60–90
• Triángulo 45-45-90 con animaciones interactivas