Número triangular cuadrado

Número entero que es a la vez cuadrado perfecto y triangular

Número triangular cuadrado 36 representado como un número triangular y como un número cuadrado.

En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número cuadrado triangular ) es un número que es a la vez un número triangular y un número cuadrado . Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son:

0, 1, 36,1225 ,41 616 ,1 413 721 ,48 024 900 ,1 631 432 881 ,55 420 693 056 ,1 882 672 131 025 (secuencia A001110 en la OEIS )

Fórmulas explícitas

Escribe para el número triangular cuadrado y escribe y para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Defina la raíz triangular de un número triangular como . A partir de esta definición y la fórmula cuadrática, ${\displaystyle N={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Por tanto, es triangular ( es un número entero) si y sólo si es cuadrado. En consecuencia, un número cuadrado también es triangular si y sólo si es cuadrado, es decir, hay números y tales que . Este es un ejemplo de la ecuación de Pell con . Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial para cualquiera ; esto se llama solución cero y se indexa como . Si denota la enésima solución no trivial de cualquier ecuación de Pell para un determinado , se puede demostrar mediante el método de descendencia que la siguiente solución es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 8N+1}$ ${\displaystyle M^{2}}$ ${\displaystyle 8M^{2}+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle x=1,y=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, hay infinitas soluciones para cualquier ecuación de Pell para la cual hay una no trivial, que es verdadera siempre que no sea un cuadrado. La primera solución no trivial cuando es fácil de encontrar: es . Una solución a la ecuación de Pell produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de , es , y el siguiente, derivado de , es . ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)-(17,6)}$ ${\displaystyle 36}$

Las secuencias , y son las secuencias OEIS OEIS :A001110 , OEIS :A001109 y OEIS :A001108 respectivamente. ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

En 1778, Leonhard Euler determinó la fórmula explícita ^{[1] [2] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Las fórmulas explícitas correspondientes para y son: ^{[2] : 13} ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Relaciones de recurrencia

Existen relaciones de recurrencia para los números triangulares cuadrados, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos ^{[3] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

Tenemos ^{[1] [2] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Otras caracterizaciones

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma , donde es convergente a la expansión de fracción continua de , la raíz cuadrada de 2 . ^[4] ${\displaystyle b^{2}c^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

AV Sylwester dio una breve demostración de que hay infinitos números triangulares cuadrados: Si el enésimo número triangular es cuadrado, entonces también lo es el enésimo número triangular mayor, ya que: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle 4n(n+1)}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación tiene la forma de un número triangular y, como producto de tres cuadrados, el lado derecho es un cuadrado. ^[5]

La función generadora de los números triangulares cuadrados es: ^[6]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

Ver también

• Problema de la bala de cañón , sobre números que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados
• Sexta potencia , números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos

Notas

1. Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Historia de la Teoría de los Números . vol. 2. Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 16.ISBN​ 978-0-8218-1935-7.
2. Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Una regla fácil para los problemas diofánticos que deben resolverse rápidamente mediante números enteros)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (en latín). 4 : 3–17 . Consultado el 11 de mayo de 2009 . Según los registros, fue presentado a la Academia de San Petersburgo el 4 de mayo de 1778.
3. Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado". MundoMatemático .
4. Bola, WW Rouse ; Coxeter, HSM (1987). Recreaciones y Ensayos Matemáticos . Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 59.ISBN​ 978-0-486-25357-2.
5. Pietenpol, JL; Sylwester, AV; Justo, Erwin; Warten, RM (febrero de 1962). "Problemas elementales y soluciones: E 1473, Números triangulares cuadrados". Mensual Matemático Estadounidense . 69 (2). Asociación Matemática de América: 168–169. doi :10.2307/2312558. ISSN  0002-9890. JSTOR  2312558.
6. Plouffe, Simon (agosto de 1992). "1031 Funciones generadoras" (PDF) . Universidad de Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. pag. A.129. Archivado desde el original (PDF) el 20 de agosto de 2012 . Consultado el 11 de mayo de 2009 .

enlaces externos

• Números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado". MundoMatemático .
• La solución de Michael Dummett