bipirámide

En geometría, una bipirámide , bipirámide o doble pirámide es un poliedro formado fusionando dos pirámides de base con base. Por lo tanto, la base poligonal de cada pirámide debe ser la misma y, a menos que se especifique lo contrario, los vértices de la base suelen ser coplanares y una bipirámide suele ser simétrica , lo que significa que las dos pirámides son imágenes especulares a lo largo de su plano base común. Cuando cada vértice ( pl. ápices, los vértices fuera de la base) de la bipirámide está en una línea perpendicular a la base y pasa por su centro, es una bipirámide recta ; ^[a] en caso contrario es oblicuo . Cuando la base es un polígono regular , la bipirámide también se llama regular .

Definición y propiedades

La bipirámide triangular, el octaedro y la bipirámide pentagonal.

Una bipirámide es un poliedro construido fusionando dos pirámides que comparten la misma base poligonal ; ^[1] una pirámide, a su vez, se construye conectando cada vértice de su base a un único vértice nuevo (el vértice ) que no se encuentra en el plano de la base, para una base angonal que forma caras triangulares además de la cara de la base. Por tanto, la bipirámide angonal tiene caras, aristas y vértices. $n$ $n$ $n$ $2n$ $3n$ $n+2$ De manera más general, una pirámide recta es una pirámide donde los ápices están en la línea perpendicular que pasa por el centroide de un polígono arbitrario o el incentro de un polígono tangencial , según la fuente. ^[a] Asimismo, una bipirámide derecha es un poliedro construido uniendo dos bases simétricas de una bipirámide derecha; Las bipirámides cuyos ápices no están sobre esta línea se denominan bipirámides oblicuas . ^[2]

Cuando las dos pirámides son imágenes especulares, la bipirámide se llama simétrica . Se llama regular si su base es un polígono regular. ^[1] Cuando la base es un polígono regular y los ápices están en la línea perpendicular que pasa por su centro (una bipirámide recta regular ), entonces todas sus caras son triángulos isósceles ; a veces el nombre bipirámide se refiere específicamente a bipirámides derechas regulares simétricas, ^[3] Ejemplos de tales bipirámides son la bipirámide triangular , el octaedro (bipirámide cuadrada) y la bipirámide pentagonal . En el caso de que todas sus aristas tengan la misma longitud, estas formas constan de caras de triángulos equiláteros , lo que las convierte en deltaedros ; ^[4]^[5] la bipirámide triangular y la bipirámide pentagonal son sólidos de Johnson , y el octaedro regular es un sólido platónico . ^[6]

Las bipirámides derechas regulares simétricas tienen simetría prismática , el grupo diédrico de orden : su apariencia es simétrica al girar alrededor del eje de simetría y reflejarse a través del plano del espejo. ^[7] Debido a que la apariencia parece la misma bajo tales simetrías, y todas las caras son congruentes , las bipirámides tienen la propiedad de ser isoédricas . ^[8]^[9] Son el poliedro dual de los prismas y los prismas son el dual de las bipirámides también: los vértices de las bipirámides corresponden a las caras del prisma, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de rostros del otro, y viceversa; ^[10] los prismas comparten la misma simetría que las bipirámides. ^[11] El octaedro regular es aún más simétrico, ya que sus vértices base y ápices son indistinguibles y pueden intercambiarse mediante reflexiones o rotaciones: el octaedro y su dual el cubo tienen simetría octaédrica . ^[12] $D_{nh}$ $4n$

El volumen de una bipirámide simétrica es

{\frac {2}{3}}Bh,

B

h

n

s

h

{\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.

Relacionados y otros tipos de bipirámide.

bipirámides cóncavas

Una bipirámide cóncava tiene una base poligonal cóncava y un ejemplo es una bipirámide tetragonal cóncava o un octaedro cóncavo irregular. Una bipirámide con una base poligonal arbitraria podría considerarse una bipirámide recta si los ápices están en una línea perpendicular a la base que pasa por el centroide de la base .

Bipirámides asimétricas

Una bipirámide asimétrica tiene ápices que no se reflejan en el plano de la base; para una bipirámide derecha, esto solo sucede si cada vértice está a una distancia diferente de la base.

El dual de una bipirámide $n$ -gonal derecha asimétrica es un tronco $de n$ -gonal .

$Una bipirámide n$ -gonal derecha asimétrica regular tiene un grupo de simetría $C n v$ , de orden $2 n$ .

Bipirámides del triángulo escaleno

Ejemplo: bipirámide ditetragonal (

2 n = 2\times4

)

Una bipirámide di- $n-$ gonal derecha (simétrica) isotoxal es una bipirámide $2 n$ -gonal derecha (simétrica) con una base poligonal plana isotoxal $: sus 2 n$ vértices basales son coplanares, pero se alternan en dos radios .

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes , y es isoédrico . Puede verse como otro tipo de escalenoedro di- $n$ -gonal simétrico recto, con una base poligonal plana isotoxal.

Una bipirámide di- $n$ -gonal isotoxal derecha (simétrica) tiene $n$ ejes de rotación dobles a través de vértices basales opuestos, $n$ planos de reflexión a través de bordes apicales opuestos, un eje de rotación de $n$ a través de los ápices, un plano de reflexión a través de la base y un $n$ -eje de rotación-reflexión plegado a través de los ápices, ^[13] que representa el grupo de simetría $D n h, [n,2], (*22 n),$ de orden $4 n$ . (La reflexión sobre el plano base corresponde a la reflexión de rotación $de 0°$ . Si $n$ es par, entonces hay una simetría de inversión alrededor del centro, correspondiente a la reflexión de rotación $de 180° .)$

Ejemplo con $2 n = 2\times3$ :

Una bipirámide ditrigonal derecha (simétrica) isotoxal tiene tres planos de simetría verticales similares, que se cruzan en un eje de rotación triple

(

vertical); perpendicular a ellos hay un cuarto plano de simetría (horizontal); en la intersección de los tres planos verticales con el plano horizontal hay tres ejes de rotación dobles

similares

(horizontales); no hay centro de simetría de inversión, ^[14] pero sí hay un centro de simetría : el punto de intersección de los cuatro ejes.

Ejemplo con $2 n = 2\times4$ :

Una bipirámide ditetragonal derecha isotoxal (simétrica) tiene cuatro planos verticales de simetría de dos tipos, que se cruzan en un eje de rotación

cuádruple

(vertical); perpendicular a ellos hay un quinto plano de simetría (horizontal); en la intersección de los cuatro planos verticales con el plano horizontal hay cuatro ejes de rotación dobles (horizontales)

de

dos tipos, cada uno de ellos perpendicular a un plano de simetría; dos planos verticales bisecan los ángulos entre dos ejes horizontales; y hay un centro de simetría de inversión. ^[15]

Porque como máximo dos valores particulares de las caras de tal bipirámide de triángulo escaleno pueden ser isósceles . ^[^{cita necesaria}^] $z_{A}=|z_{A'}|,$

Doble ejemplo:

La bipirámide con vértices de base isotoxal 2×2 -gon U, U', V, V' y ápices simétricos rectos A, A'
${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$
tiene sus caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Longitudes de borde de base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (igual a la longitud del borde superior): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{aligned}}$

La bipirámide con los mismos vértices de base, pero con ápices simétricos a la derecha.
${\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}$
También tiene sus caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base (igual al ejemplo anterior): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (igual a la longitud del borde superior): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

En cristalografía , existen bipirámides isotoxales derechas (simétricas), didigonal ^[b] (8 caras), ditrigonal (12 caras), ditetragonal (16 caras) y dihexagonal (24 caras). ^[13]^[16]

escalenoedro

Ejemplo: escalenoedro ditrigonal (

2 n = 2\times3

)

Un escalenoedro es similar a una bipirámide; la diferencia es que el escalenoedro tiene un patrón en zig-zag en los bordes medios. ^[17]

Tiene dos ápices y $2 n$ vértices basales, $4 n$ caras y $6 n$ aristas; es topológicamente idéntica a una bipirámide $2 n$ -gonal, pero sus $2 n$ vértices basales se alternan en dos anillos encima y debajo del centro. ^[dieciséis]

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes , y es isoédrico . Puede verse como otro tipo de bipirámide di- $n$ -gonal simétrica recta, con una base de polígono sesgado en zigzag regular.

Un escalenoedro di- $n$ -gonal simétrico recto regular tiene $n$ ejes de rotación dobles a través de bordes medios basales opuestos, $n$ planos de reflexión a través de bordes apicales opuestos, un eje de rotación de $n$ a través de los ápices y un eje de rotación-reflexión $de$ $n$ veces . eje que pasa por los ápices (alrededor del cual $1$ $n$ rotaciones-reflexiones preservan globalmente el sólido), ^[13] que representa el grupo de simetría $D$ $n$ $v$ $= D$ $n$ $d$ $, [2$ $+$ $,2$ $n$ $], (2*$ $n$ $),$ de orden $4$ $n$ . (Si $n$ es impar, entonces hay una simetría de inversión alrededor del centro, correspondiente a la rotación-reflexión $de 180°$ ).

Ejemplo con $2 n = 2\times3$ :

Un escalenoedro ditrigonal simétrico recto regular tiene tres planos de simetría verticales similares inclinados entre sí a

60 °

y que se cruzan en un eje de rotación

triple

(vertical) , tres ejes de rotación horizontales

dobles

similares , cada uno perpendicular a un plano de simetría, un centro de simetría de inversión, ^[18] y un eje de rotación-reflexión vertical de

6 veces.

Ejemplo con $2 n = 2\times2$ :

Un escalenoedro didigonal simétrico recto regular tiene solo un eje de rotación

doble

vertical y dos horizontales , dos planos de simetría verticales, que bisecan los ángulos entre el par de ejes horizontales, y un eje de reflexión-rotación vertical cuádruple

;

^[19] no tiene centro de simetría de inversión.

Porque como máximo dos valores particulares de las caras de tal edro escaleno pueden ser isósceles . $z_{A}=|z_{A'}|,$

Doble ejemplo:

El escalenoedro con vértices de base de 2 × 2 con inclinación en zigzag regular U, U', V, V' y ápices simétricos rectos A, A'
${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$
tiene sus caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (igual a las longitudes del borde superior intercambiadas): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

El escalenoedro con los mismos vértices de base, pero con ápices simétricos hacia la derecha.
${\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}$
También tiene sus caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base (igual al ejemplo anterior): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (igual a las longitudes del borde superior intercambiadas): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{aligned}}$

En cristalografía , existen escalenoedros didigonales ( $8$ caras) y ditrigonales ( $12$ caras) simétricos derechos regulares . ^[13]^[16]

Los escalenoedros geométricos más pequeños tienen ocho caras y son topológicamente idénticos al octaedro regular . En este caso ( $2 n = 2 \times 2 ), en cristalografía, un escalenoedro didigonal (de$ $8$ caras) simétrico derecho regular se llama escalenoedro tetragonal . ^[13]^[16]

Centrémonos temporalmente en el escalenoedro regular simétrico derecho $de 8$ caras con $h = r,$ es decir

z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.

A, A'

U, U', V, V'

{\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}

z

0

1

En $z = 0$ , es un octaedro regular; en $z = 1$ , tiene cuatro pares de caras coplanares, y fusionarlas en cuatro triángulos isósceles congruentes lo convierte en un diefenoides ; para $z > 1$ , es cóncavo.

Si la base de $2 n$ -gon es isotoxal de entrada y salida y está inclinada en zigzag , entonces no todas las caras del escalenoedro isotoxal simétrico derecho son congruentes.

Ejemplo con cinco longitudes de borde diferentes:

El escalenoedro con vértices isotoxales de entrada y salida en zigzag sesgados 2×2 -gon base U, U', V, V' y ápices simétricos rectos A, A'
${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$
tiene caras superiores escalenas congruentes y caras inferiores escalenas congruentes, pero no todas sus caras son congruentes. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;$
- Longitudes del borde apical inferior: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

Para algunos valores particulares de $z A = | zA' |$ , la mitad de las caras de tal edro escaleno pueden ser isósceles o equiláteras .

Ejemplo con tres longitudes de borde diferentes:

El escalenoedro con vértices isotoxales de entrada y salida en zigzag sesgados 2×2 -gon base U, U', V, V' y ápices simétricos rectos A, A'
${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$
tiene caras superiores escalenas congruentes y caras inferiores equiláteras congruentes; por tanto, no todas sus caras son congruentes. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;$
- Longitud(es) del borde apical inferior: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

Bipirámides estrella

Una bipirámide estelar tiene una base poligonal estelar y se interseca a sí misma. ^[20]

Una bipirámide estrella simétrica recta regular tiene caras de triángulo isósceles congruentes y es isoédrica .

Una $p / q$ -bipirámide tiene diagrama de Coxeter .

4 politopos con células bipiramidales.

El dual de la rectificación de cada 4 politopos regulares convexos es un 4 politopo transitivo de células con células bipiramidales. En el siguiente:

$A$ es el vértice de la bipirámide;
$E$ es un vértice del ecuador;
$EE$ es la distancia entre vértices adyacentes en el ecuador (igual a 1);
$AE$ es la longitud del borde del ápice al ecuador;
$AA$ es la distancia entre los ápices.

El 4-politopo de la bipirámide tendrá vértices $V A$ donde se unen los ápices de las bipirámides $N A.$ Tendrá vértices $V E$ donde se unen los vértices tipo $E$ de las bipirámides $N E.$

$N_{\overline {AE}}$ Las bipirámides se encuentran a lo largo de cada borde tipo $AE$ .
$N_{\overline {EE}}$ Las bipirámides se encuentran a lo largo de cada borde tipo $EE$ .
$C_{\overline {AE}}$ es el coseno del ángulo diédrico a lo largo de un borde $AE .$
$C_{\overline {EE}}$ es el coseno del ángulo diédrico a lo largo de un borde $EE .$

Como las células deben encajar alrededor de un borde,

{\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}

Otras dimensiones

Una "bipirámide" $n -dimensional generalizada es cualquier$ $n$ - politopo construido a partir de una base de $(n - 1)$ -politopo que se encuentra en un hiperplano , con cada vértice de la base conectado por un borde a dos vértices del vértice . Si el politopo $($ $n$ $- 1)$ es un politopo regular y los ápices están equidistantes de su centro a lo largo de la línea perpendicular al hiperplano base, tendrá facetas piramidales idénticas .

Un análogo bidimensional de una bipirámide simétrica recta se forma uniendo dos triángulos isósceles congruentes base con base para formar un rombo . De manera más general, una cometa es un análogo bidimensional de una bipirámide derecha (posiblemente asimétrica), y cualquier cuadrilátero es un análogo bidimensional de una bipirámide general.

Ver también

trapezoedro

Notas

^ ab El centro de un polígono regular no es ambiguo, pero para los polígonos irregulares las fuentes no están de acuerdo. Algunas fuentes sólo permiten que una pirámide recta tenga un polígono regular como base. Otros definen una pirámide recta como aquella que tiene sus vértices en una línea perpendicular a la base y que pasa por su centroide . Polya (1954) restringe las pirámides rectas a aquellas que tienen un polígono tangencial como base, con los ápices en una línea perpendicular a la base y que pasa por el incentro .
^ Las bipirámides geométricas di $-n$ -gonales más pequeñas tienen ocho caras y son topológicamente idénticas al octaedro regular . En este caso ( $2 n = 2\times2$ ):
una bipirámide didigonal recta (simétrica) isotoxal se llama bipirámide rómbica , ^[13]^[16] aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.
^ Dado numéricamente debido a una forma más compleja.
^ Las 16 celdas rectificadas son las 24 celdas regulares y todos los vértices son equivalentes: los octaedros son bipirámides regulares.

Citas

^ ab Aarts, JM (2008). Geometría plana y sólida. Saltador. pag. 303. doi :10.1007/978-0-387-78241-6. ISBN 978-0-387-78241-6.
^ Polia, G. (1954). Matemáticas y razonamiento plausible: inducción y analogía en matemáticas. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 138.
^ Montroll, John (2009). Diseño de poliedros de origami . AK Peters. pag. 6.ISBN 9781439871065.
^ Trigg, Charles W. (1978). "Una clase infinita de deltaedros". Revista Matemáticas . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647. SEÑOR 1572246.
^ Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Saltador. pag. 62.doi :10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID 220150682.
^ Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55432-9.
^ Flusser, enero; Suk, Tomás; Zitofa, Bárbara (2017). Análisis de Imágenes 2D y 3D por Momentos. John e hijos Wiley. pag. 126.
^ Chang, Ch.; Patzer, ABC; Sülzle, D.; Hauer, H. "Fullerenos inorgánicos similares a cebollas desde una perspectiva poliédrica". En Sattler, Klaus D. (ed.). Nanociencia del siglo XXI: un manual . Taylor y Francisco. pag. 15-4.
^ McLean, K. Robin (1990). "Mazmorras, dragones y dados". La Gaceta Matemática . 74 (469): 243–256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.
^ Sibley, Thomas Q. (2015). Pensar geométricamente: un estudio de las geometrías. Asociación Matemática de Estados Unidos. pag. 53.
^ Rey, Robert B. (1994). "Dinámica poliédrica". En Bonchev, Danail D.; Mekenyan, OG (eds.). Enfoques teóricos de gráficos sobre la reactividad química . Saltador. doi :10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN 978-94-011-1202-4.
^ Armstrong, MA (1988). Grupo y Simetría. Saltador. pag. 39.doi :10.1007/978-1-4757-4034-9 . ISBN 978-1-4757-4034-9.
^ abcdef "Forma cristalina, zonas, hábito cristalino". Tulane.edu . Consultado el 16 de septiembre de 2017 .
^ Spencer 1911, 6. Sistema hexagonal, división romboédrica , clase bipiramidal ditrigonal, p. 581 (p. 603 en Wikisource).
^ Spencer 1911, 2. Sistema tegragonal, clase holosimétrica, fig. 46, pág. 577 (pág. 599 en Wikisource).
^ abcde "Las 48 formas de cristal especiales". 18 de septiembre de 2013. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2013 . Consultado el 18 de noviembre de 2020 .
^ Klein, Cornelis; Philpotts, Anthony R. (2013). Materiales terrestres: introducción a la mineralogía y la petrología. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 108.
^ Spencer 1911, 6. Sistema hexagonal, división romboédrica , clase holosimétrica, fig. 68, pág. 580 (pág. 602 en Wikisource).
^ Spencer 1911, pag. 2. Sistema tetragonal, clase escalenoédrica, fig. 51, pág. 577 (pág. 599 en Wikisource).
^ Rankin, John R. (1988). "Clases de poliedros definidos por gráficos en chorro". Computadoras y gráficos . 12 (2): 239–254. doi :10.1016/0097-8493(88)90036-2.

Trabajos citados

Antonio Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Prensa de la Universidad de California Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes
Spencer, Leonard James (1911). "Cristalografía" . En Chisholm, Hugh (ed.). Enciclopedia Británica . vol. 07 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 569–591.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las bipirámides .

Weisstein, Eric W. "Dipirámide". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Isoedro". MundoMatemático .
Los poliedros uniformes
Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
- Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
  - Notación de Conway para poliedros Pruebe: "dP n ", donde n = 3, 4, 5, 6, ... Ejemplo: "dP4" es un octaedro.