En geometría , un disfenoide (del griego sphenoeides 'en forma de cuña') es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos acutángulos congruentes . [1] También se puede describir como un tetraedro en el que cada dos aristas opuestas entre sí tienen longitudes iguales. Otros nombres para la misma forma son isotetraedro , [2] esfenoide , [3] bisfenoide , [3] tetraedro isósceles , [4] tetraedro equifacial , [5] tetraedro casi regular , [6] y tetramonoedro . [7]
Todos los ángulos sólidos y figuras de vértice de un disfenoide son iguales, y la suma de los ángulos de las caras en cada vértice es igual a dos ángulos rectos . Sin embargo, un disfenoide no es un poliedro regular , porque, en general, sus caras no son polígonos regulares , y sus aristas tienen tres longitudes diferentes.
Si las caras de un disfenoide son triángulos equiláteros , se trata de un tetraedro regular con simetría tetraédrica T d , aunque normalmente no se le llama disfenoide. Cuando las caras de un disfenoide son triángulos isósceles , se le llama disfenoide tetragonal . En este caso tiene simetría diedra D 2d . Un esfenoide con triángulos escalenos como caras se le llama disfenoide rómbico y tiene simetría diedra D 2. A diferencia del disfenoide tetragonal, el disfenoide rómbico no tiene simetría de reflexión , por lo que es quiral . [8] Tanto los disfenoides tetragonales como los disfenoides rómbicos son isoedros : además de ser congruentes entre sí, todas sus caras son simétricas entre sí.
No es posible construir un disfenoide con caras de triángulos rectángulos o de triángulos obtusos . [4] Cuando se pegan triángulos rectángulos entre sí siguiendo el patrón de un disfenoide, forman una figura plana (un rectángulo doblemente cubierto) que no encierra ningún volumen. [8] Cuando se pegan triángulos obtusos de esta manera, la superficie resultante se puede doblar para formar un disfenoide (por el teorema de unicidad de Alexandrov ) pero uno con caras de triángulos agudos y con aristas que, en general, no se encuentran a lo largo de las aristas de los triángulos obtusos dados.
Dos tipos más de tetraedro generalizan el disfenoides y tienen nombres similares. El disfenoides digonal tiene caras con dos formas diferentes, ambos triángulos isósceles, con dos caras de cada forma. El disfenoides fílico tiene caras con dos formas de triángulos escalenos.
Los disfenoides también pueden verse como antiprismas diagonales o como prismas cuadriláteros alternados .
Un tetraedro es un difenoide si y sólo si su paralelepípedo circunscrito es rectángulo. [9]
También tenemos que un tetraedro es un disfenoide si y sólo si el centro en la esfera circunscrita y la esfera inscrita coinciden. [10]
Otra caracterización establece que si d 1 , d 2 y d 3 son las perpendiculares comunes de AB y CD ; AC y BD ; y AD y BC respectivamente en un tetraedro ABCD , entonces el tetraedro es un difenoide si y solo si d 1 , d 2 y d 3 son perpendiculares por pares . [9]
Los difenoides son los únicos poliedros que tienen infinitas geodésicas cerradas que no se intersecan entre sí . En un difenoide, todas las geodésicas cerradas no se intersecan entre sí. [11]
Los difenoides son los tetraedros en los que las cuatro caras tienen el mismo perímetro , los tetraedros en los que las cuatro caras tienen la misma área, [10] y los tetraedros en los que los defectos angulares de los cuatro vértices son iguales a π . Son los poliedros que tienen un desarrollo en forma de triángulo agudo, dividido en cuatro triángulos semejantes por segmentos que unen los puntos medios de las aristas. [6]
El volumen de un diesfenoide con aristas opuestas de longitud l , m y n viene dado por: [12]
La esfera circunscrita tiene radio [12] (el circunradio):
y la esfera inscrita tiene radio: [12]
donde V es el volumen del disfenoides y T es el área de cualquier cara, que viene dada por la fórmula de Herón . También existe la siguiente relación interesante que conecta el volumen y el radio circunscrito: [12]
Los cuadrados de las longitudes de las bimedianas son: [12]
Si las cuatro caras de un tetraedro tienen el mismo perímetro, entonces el tetraedro es un difenoide. [10]
Si las cuatro caras de un tetraedro tienen la misma área, entonces es un difenoide. [9] [10]
Los centros de las esferas circunscritas e inscritas coinciden con el centroide del disfenoides. [12]
Las bimedianas son perpendiculares a los bordes que conectan y entre sí. [12]
Algunos disfenoides tetragonales formarán panales de abeja . El disfenoide cuyos cuatro vértices son (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) y (0, 1, -1) es un disfenoide de este tipo. [13] [14] Cada una de sus cuatro caras es un triángulo isósceles con aristas de longitudes √ 3 , √ 3 y 2. Puede teselar el espacio para formar el disfenoide tetraédrico en panal de abeja . Como describe Gibb (1990), se puede doblar sin cortar ni superponer a partir de una sola hoja de papel A4 . [15]
El término "disfenoide" también se utiliza para describir dos formas de cristal :
Seis difenoides tetragonales unidos por sus extremos en un anillo forman un caleidociclo , un juguete de papel que puede girar sobre cuatro conjuntos de caras en un hexágono. La rotación de los seis difenoides con bordes opuestos de longitud l, m y n (sin pérdida de generalidad n≤l, n≤m) es físicamente realizable si y solo si [16]
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