Tetraedro trirectangular

Tetraedro donde los tres ángulos de las caras en un vértice son ángulos rectos

Tetraedro trirectangular con su base en verde y su vértice como un disco negro sólido. Se puede construir con un octante de coordenadas y un plano que cruza los 3 ejes alejándose del origen ( x > 0; y > 0; z > 0) y x/a+y/b+z/c < 1

En geometría , un tetraedro trirectangular es un tetraedro en el que los tres ángulos de las caras en un vértice son ángulos rectos . Ese vértice se llama ángulo recto o vértice del tetraedro trirectangular y la cara opuesta se llama base . Las tres aristas que se encuentran en el ángulo recto se llaman catetos y la perpendicular desde el ángulo recto hasta la base se llama altura del tetraedro (análoga a la altura de un triángulo).

Dibujo de Kepler de un tetraedro regular inscrito en un cubo (a la izquierda), y uno de los cuatro tetraedros trirectangulares que lo rodean (a la derecha), llenando el cubo.

Un ejemplo de tetraedro trirectangular es una figura sólida truncada cerca de la esquina de un cubo o un octante en el origen del espacio euclidiano . Kepler descubrió la relación entre el cubo, el tetraedro regular y el tetraedro trirectangular. ^[1]

Sólo el gráfico bifurcado del grupo de Coxeter afín tiene un dominio fundamental de tetraedro trirectangular. ${\displaystyle B_{3}}$

Fórmulas métricas

Si los catetos tienen longitudes a, b, c , entonces el tetraedro trirectangular tiene el volumen ^{[2] [3]}

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}.}$

La altitud h satisface ^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.}$

El área de la base está dada por ^[5] ${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle T_{0}={\frac {abc}{2h}}.}$

El ángulo sólido en el vértice rectángulo, desde el cual la cara opuesta (la base) subtiende un octante , tiene medida π /2  estereorradianes , un octavo del área superficial de una esfera unitaria .

Teorema de De Gua

Si el área de la base es y las áreas de las otras tres caras (rectángulo) son , y , entonces ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$

${\displaystyle T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.}$

Esta es una generalización del teorema de Pitágoras a un tetraedro.

Solución entera

Cuerpo perfecto

Bipirámide trirectangular con aristas (240, 117, 44, 125, 244, 267, 44, 117, 240)

El área de la base (a,b,c) es siempre (Gua) un número irracional. Por lo tanto, un tetraedro trirectangular con aristas enteras nunca es un cuerpo perfecto. La bipirámide trirectangular (6 caras, 9 aristas, 5 vértices) construida a partir de estos tetraedros trirectangulares y los tetraedros zurdos relacionados conectados en sus bases tienen aristas, caras y volumen racionales, pero la diagonal espacial interna entre los dos vértices trirectangulares sigue siendo irracional. La última es el doble de la altura del tetraedro trirectangular y una parte racional de la diagonal espacial irracional (probada) ^[6] del ladrillo de Euler relacionado (bc, ca, ab).

Aristas enteras

Existen tetraedros trirectangulares con catetos y lados enteros del triángulo base, por ejemplo (descubierto en 1719 por Halcke). A continuación se muestran algunos ejemplos más con catetos y lados enteros. ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},e={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},f={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle a=240,b=117,c=44,d=125,e=244,f=267}$

 abcdef 

---

 240 117 44 125 244 267 275 252 240 348 365 373 480 234 88 250 488 534 550 504 480 696 730 746 693 480 140 500 707 843 720 351 132 375 732 801 720 132 85 157 725 732 792 231 160 281 808 825 825 756 720 1044 1095 1119 960 468 176 500 976 1068 1100 1008 960 1392 1460 1492 1155 1100 1008 1492 1533 1595 1200 585 220 625 1220 1335 1375 1260 1200 1740 1825 1865 1386 960 280 1000 1414 1686 1440 702 264 750 1464 1602 1440 264 170 314 1450 1464

Tenga en cuenta que algunos de estos son múltiplos de otros más pequeños. Observe también A031173.

Caras enteras

Existen tetraedros trirectangulares con caras enteras y altitud h , por ejemplo sin o con coprimos . ${\displaystyle T_{c},T_{a},T_{b},T_{0}}$ ${\displaystyle a=42,b=28,c=14,T_{c}=588,T_{a}=196,T_{b}=294,T_{0}=686,h=12}$ ${\displaystyle a=156,b=80,c=65,T_{c}=6240,T_{a}=2600,T_{b}=5070,T_{0}=8450,h=48}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Véase también

• Tetraedros irregulares
• Simplex estándar
• Ladrillo de Euler

Referencias

1. Kepler 1619, pág. 181.Error sfn: sin destino: CITEREFKepler1619 ( ayuda )
2. Antonio Caminha Muniz Neto (2018). Una excursión por las matemáticas elementales, volumen II: geometría euclidiana. Springer. pág. 437. ISBN 978-3-319-77974-4.Problema 3 en la página 437
3. Alejandro Toller; Freya Edholm; Dennis Chen (2019). Pruebas en competencia de matemáticas: volumen 1. Lulu.com. pag. 365.ISBN​ 978-0-359-71492-6.Ejercicio 149 en la página 365
4. Eves, Howard Whitley, "Grandes momentos en las matemáticas (antes de 1650)", Mathematical Association of America , 1983, pág. 41.
5. Gutiérrez, Antonio, "Fórmulas para triángulos rectángulos"
6. Walter Wyss, "No existe un cuboide perfecto", arXiv :1506.02215

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tetraedro trirectangular". MathWorld .