Girobifastigium

Poliedro formado mediante la unión de dos prismas triangulares

Modelo 3D de un girobifastigio

En geometría , el girobifastigio es un poliedro que se construye uniendo un prisma triangular a la cara cuadrada de otro. Es un ejemplo de sólido de Johnson . Es el único sólido de Johnson que puede recubrir un espacio tridimensional . ^{[1] [2]}

La construcción y su denominación

El girobifastigium se puede construir uniendo dos prismas triangulares a lo largo de las caras cuadradas correspondientes, dando un cuarto de vuelta a un prisma. ^[3] Estos prismas cubren las caras cuadradas, por lo que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros y cuatro cuadrados , lo que hace ocho caras en total, un octaedro . ^[4] Debido a que sus caras son todas polígonos regulares y es convexo , el girobifastigium se clasifica como el sólido de Johnson que se enumera como el vigésimo sexto sólido de Johnson . ^[5] ${\displaystyle J_{26}}$

El nombre de gyrobifastigium proviene del latín fastigium , que significa techo inclinado. ^[6] En la convención de nomenclatura estándar de los sólidos de Johnson, bi- significa dos sólidos conectados en sus bases, y gyro- significa que las dos mitades están torcidas una con respecto a la otra. ^[4]

Las coordenadas cartesianas para el girobifastigio con caras regulares y longitudes de arista unitarias se pueden derivar fácilmente de la fórmula de la altura de la longitud de arista unitaria de la siguiente manera: ${\textstyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right),\left(0,\pm {\frac {1}{2}},{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right),\left(\pm {\frac {1}{2}},0,-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right).}$$

Propiedades

Para calcular la fórmula del área superficial y del volumen de un girobifastigio con caras regulares y longitud de arista , se pueden adaptar las fórmulas correspondientes al prisma triangular. Su área superficial se puede obtener sumando las áreas de cuatro triángulos equiláteros y cuatro cuadrados, mientras que su volumen se puede obtener dividiendo el prisma en dos prismas triangulares y sumando sus volúmenes. Es decir: ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 5.73205a^{2},\\V&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\approx 0.86603a^{3}.\end{aligned}}}$$

Cifras relacionadas

El biprisma de Schmitt–Conway–Danzer (también llamado prototile SCD ^[7] ) es un poliedro topológicamente equivalente al girobifastigio, pero con caras de paralelogramo y triángulos irregulares en lugar de cuadrados y triángulos equiláteros. Al igual que el girobifastigio, puede llenar el espacio, pero solo aperiódicamente o con una simetría de tornillo , no con un grupo tridimensional completo de simetrías. Por lo tanto, proporciona una solución parcial al problema de Einstein tridimensional . ^[8]

El panal prismático triangular girado se puede construir juntando un gran número de girobifastigios idénticos. El girobifastigio es uno de los cinco poliedros convexos con caras regulares capaces de llenar el espacio (los otros son el cubo , el octaedro truncado , el prisma triangular y el prisma hexagonal ) y es el único sólido de Johnson capaz de hacerlo. ^{[1] [2]}

Véase también

• Girobifastigio alargado , un poliedro que llena el espacio relacionado

Referencias

1. Alam, SM Nazrul; Haas, Zygmunt J. (2006), "Cobertura y conectividad en redes tridimensionales", Actas de la 12.ª Conferencia internacional anual sobre informática móvil y redes (MobiCom '06) , Nueva York, NY, EE. UU.: ACM, págs. 346-357, arXiv : cs/0609069 , doi : 10.1145/1161089.1161128, ISBN 1-59593-286-0, Número de identificación del sujeto  3205780.
2. Kepler, Johannes (2010), El copo de nieve de seis puntas , Paul Dry Books, nota al pie 18, pág. 146, ISBN 9781589882850.
3. Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: desde Abracadabra hasta las paradojas de Zenón, John Wiley & Sons , pág. 169, ISBN 9780471667001.
4. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
5. Francis, Darryl (2013), "Sólidos de Johnson y sus acrónimos", Word Ways , 46 (3): 177.
6. Rich, Anthony (1875), "Fastigium", en Smith, William (ed.), Un diccionario de antigüedades griegas y romanas , Londres: John Murray, págs. 523–524.
7. Forzando la no periodicidad con una sola tesela Joshua ES Socolar y Joan M. Taylor, 2011
8. Senechal, Marjorie (1996), "7.2 El mosaico SCD (Schmitt–Conway–Danzer)", Cuasicristales y geometría , Cambridge University Press , págs. 209–213, ISBN 9780521575416.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Gyrobifastigium" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .