En el campo matemático de la geometría diferencial , un flujo geométrico , también llamado ecuación de evolución geométrica , es un tipo de ecuación diferencial parcial para un objeto geométrico como una métrica de Riemann o una incrustación . No es un término con un significado formal, pero normalmente se entiende que se refiere a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas .
Ciertos flujos geométricos surgen como el flujo de gradiente asociado con un funcional en una variedad que tiene una interpretación geométrica, generalmente asociada con alguna curvatura extrínseca o intrínseca . Dichos flujos están fundamentalmente relacionados con el cálculo de variaciones e incluyen el flujo de curvatura media y el flujo de Yamabe .
Los flujos geométricos extrínsecos son flujos en subvariedades embebidas o, más generalmente, subvariedades sumergidas . En general, modifican tanto la métrica de Riemann como la inmersión.
Los flujos geométricos intrínsecos son flujos en la métrica de Riemann , independientes de cualquier incrustación o inmersión.
Las clases importantes de flujos son los flujos de curvatura , los flujos variacionales (que extreman algunas funciones) y los flujos que surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Un flujo dado admite con frecuencia todas estas interpretaciones, como se indica a continuación.
Dado un operador elíptico, la ecuación diferencial parcial parabólica produce un flujo, y los estados estacionarios para el flujo son soluciones de la ecuación diferencial parcial elíptica.
Si la ecuación es la ecuación de Euler-Lagrange para algún funcional , entonces el flujo tiene una interpretación variacional ya que el flujo de gradiente y los estados estacionarios del flujo corresponden a puntos críticos del funcional.
En el contexto de los flujos geométricos, lo funcional es a menudo la norma de alguna curvatura.
Por lo tanto, dada una curvatura se puede definir la funcional que tiene la ecuación de Euler-Lagrange para algún operador elíptico y PDE parabólica asociada.
De esta manera surgen el flujo de Ricci , el flujo de Calabi y el flujo de Yamabe (en algunos casos con normalizaciones).
Los flujos de curvatura pueden o no conservar el volumen (el flujo de Calabi lo hace, mientras que el flujo de Ricci no), y si no lo hace, el flujo puede simplemente contraer o aumentar la variedad, en lugar de regularizar la métrica. Por lo tanto, a menudo se normaliza el flujo, por ejemplo, fijando el volumen.
