Rango de un grupo

En la materia matemática de la teoría de grupos , el rango de un grupo G , denotado rango( G ), puede referirse a la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador para G , es decir

${\displaystyle \operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.}$

Si G es un grupo finitamente generado , entonces el rango de G es un entero no negativo. La noción de rango de un grupo es un análogo en teoría de grupos de la noción de dimensión de un espacio vectorial . De hecho, para p -grupos , el rango del grupo P es la dimensión del espacio vectorial P /Φ( P ), donde Φ( P ) es el subgrupo de Frattini .

El rango de un grupo también se define a menudo de tal manera que se asegure que los subgrupos tengan un rango menor o igual que el grupo completo, lo que es automáticamente el caso para las dimensiones de los espacios vectoriales, pero no para grupos como los grupos afines . Para distinguir estas diferentes definiciones, a veces se denomina a este rango el rango del subgrupo . Explícitamente, el rango del subgrupo de un grupo G es el máximo de los rangos de sus subgrupos:

${\displaystyle \operatorname {sr} (G)=\max _{H\leq G}\min\{|X|:X\subseteq H,\langle X\rangle =H\}.}$

A veces el rango de subgrupo está restringido a subgrupos abelianos.

Datos conocidos y ejemplos

• Para un grupo no trivial G , tenemos rango( G ) = 1 si y solo si G es un grupo cíclico . El grupo trivial T tiene rango( T ) = 0, ya que el conjunto generador mínimo de T es el conjunto vacío .
• Para el grupo abeliano libre , tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle {\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n.}$
• Si X es un conjunto y G = F ( X ) es el grupo libre con base libre X entonces rango( G ) = | X |.
• Si un grupo H es una imagen homomórfica (o un grupo cociente ) de un grupo G entonces rango( H ) ≤ rango( G ).
• Si G es un grupo simple no abeliano finito (por ejemplo, G = A _n , el grupo alternado , para n  > 4) entonces rango( G ) = 2. Este hecho es una consecuencia de la Clasificación de grupos simples finitos .
• Si G es un grupo finitamente generado y Φ( G ) ≤ G es el subgrupo de Frattini de G (que siempre es normal en G de modo que el grupo cociente G /Φ( G ) está definido) entonces rango( G ) = rango( G /Φ( G )). ^[1]
• Si G es el grupo fundamental de una 3-variedad cerrada (es decir, compacta y sin borde) conexa M , entonces rango( G )≤ g ( M ), donde g ( M ) es el género Heegaard de M . ^[2]
• Si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos finitamente generados de un grupo libre F ( X ) tales que la intersección no es trivial, entonces L es finitamente generado y ${\displaystyle L=H\cap K}$

rango( L ) − 1 ≤ 2(rango( K ) − 1)(rango( H ) − 1).

Este resultado se debe a Hanna Neumann . ^{[3] [4]} La conjetura de Hanna Neumann establece que, de hecho, uno siempre tiene rango( L ) − 1 ≤ (rango( K ) − 1)(rango( H ) − 1). La conjetura de Hanna Neumann ha sido resuelta recientemente por Igor Mineyev ^[5] y anunciada independientemente por Joel Friedman. ^[6]

• Según el teorema clásico de Grushko , el rango se comporta de forma aditiva con respecto a la toma de productos libres , es decir, para cualesquiera grupos A y B tenemos

rango( A B ) = rango( A ) + rango( B ). ${\displaystyle \ast }$

• Si es un grupo de un solo relator tal que r no es un elemento primitivo en el grupo libre F ( x ₁ ,..., x _n ), es decir, r no pertenece a una base libre de F ( x ₁ ,..., x _n ), entonces rank( G ) =  n . ^{[7] [8]} ${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle }$
• El rango de un grupo de simetría está estrechamente relacionado con la complejidad del objeto (una molécula, una estructura cristalina) que se encuentra bajo la acción del grupo. Si G es un grupo puntual cristalográfico , entonces el rango ( G ) = 2 a 3. ^[9] Si G es un grupo de papel tapiz , entonces el rango ( G ) = 2 a 4. El único tipo de grupo de papel tapiz de rango 4 es p 2 mm . ^[10] Si G es un grupo espacial tridimensional , entonces el rango ( G ) = 2 a 6. El único tipo de grupo espacial de rango 6 es Pmmm . ^[11]

El problema del rango

Existe un problema algorítmico estudiado en la teoría de grupos , conocido como el problema del rango . El problema pregunta, para una clase particular de grupos finitamente presentados , si existe un algoritmo que, dada una presentación finita de un grupo de la clase, calcule el rango de ese grupo. El problema del rango es uno de los problemas algorítmicos más difíciles estudiados en la teoría de grupos y se sabe relativamente poco sobre él. Los resultados conocidos incluyen:

• El problema del rango es algorítmicamente indecidible para la clase de todos los grupos finitamente presentados . De hecho, por un resultado clásico de Adian–Rabin , no hay ningún algoritmo para decidir si un grupo finitamente presentado es trivial, por lo que incluso la cuestión de si rango( G )=0 es indecidible para grupos finitamente presentados. ^{[12] [13]}
• El problema de rango es decidible para grupos finitos y para grupos abelianos finitamente generados .
• El problema de rango es decidible para grupos nilpotentes finitamente generados . La razón es que para un grupo G , el subgrupo de Frattini de G contiene el subgrupo conmutador de G y , por lo tanto, el rango de G es igual al rango de la abelianización de G. ^[14]
• El problema del rango es indecidible para los grupos hiperbólicos de palabras . ^[15]
• El problema de rango es decidible para grupos kleinianos libres de torsión . ^[16]
• El problema de rango está abierto para grupos virtualmente abelianos generados finitamente (es decir, que contienen un subgrupo abeliano de índice finito ), para grupos virtualmente libres y para grupos de 3 variedades .

Generalizaciones y nociones relacionadas

El rango de un grupo finitamente generado G puede definirse de manera equivalente como la cardinalidad más pequeña de un conjunto X tal que existe un ontohomomorfismo F ( X ) → G , donde F ( X ) es el grupo libre con base libre X . Existe una noción dual de co-rango de un grupo finitamente generado G definido como la cardinalidad más grande de X tal que existe un ontohomomorfismo G → F ( X ) . A diferencia del rango, el co-rango siempre es computable algorítmicamente para grupos finitamente presentados , ^[17] utilizando el algoritmo de Makanin y Razborov para resolver sistemas de ecuaciones en grupos libres. ^{[18] [19]} La noción de co-rango está relacionada con la noción de un número de corte para 3-variedades . ^[20]

Si p es un número primo , entonces el rango p de G es el rango más grande de un p -subgrupo abeliano elemental . ^[21] El rango p seccional es el rango más grande de una p -sección abeliana elemental ( cociente de un subgrupo).

Véase también

• Rango de un grupo abeliano
• Rango de Prüfer
• Teorema de Grushko
• Grupo libre
• Equivalencia de Nielsen

Notas

1. DJS Robinson. Un curso sobre la teoría de grupos , 2.ª ed., Textos de posgrado en matemáticas 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN  0-387-94461-3
2. Friedhelm Waldhausen. Algunos problemas sobre 3-variedades. Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 2, págs. 313-322, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1978; ISBN 0-8218-1433-8 
3. Hanna Neumann. Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados. Publicationes Mathematicae Debrecen , vol. 4 (1956), 186–189.
4. Hanna Neumann. Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados. Adenda. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), p. 128
5. Igor Minevev, "Submultiplicatividad y la conjetura de Hanna Neumann". Ann. of Math., 175 (2012), núm. 1, 393–414.
6. "Haces sobre grafos y una demostración de la conjetura de Hanna Neumann". Math.ubc.ca . Consultado el 12 de junio de 2012 .
7. Wilhelm Magnus , Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen , Monatshefte für Mathematik, vol. 47 (1939), págs. 307–313.
8. Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Proposición 5.11, pág. 107 
9. Banaru, AM (1 de diciembre de 2018). "Subconjuntos generadores mínimos de grupos puntuales cristalográficos". Informes de cristalografía . 63 (7): 1077–1081. doi :10.1134/S1063774518070052. ISSN  1562-689X.
10. Banaru, AM (1 de diciembre de 2018). "Un conjunto generador difuso de grupos espaciales 2D". Informes de cristalografía . 63 (7): 1071–1076. doi :10.1134/S1063774518070040. ISSN  1562-689X.
11. Lord, EA; Banaru, AM (1 de marzo de 2012). "Número de elementos generadores en el grupo espacial de un cristal". Boletín de Química de la Universidad de Moscú . 67 (2): 50–58. doi :10.3103/S0027131412020034. ISSN  1935-0260.
12. WW Boone. Problemas de decisión sobre sistemas algebraicos y lógicos en su conjunto y grados de irresolubilidad enumerables recursivamente. 1968 Contribuciones a la lógica matemática (Coloquio, Hannover, 1966) pp. 13 33 Holanda Septentrional, Amsterdam
13. Charles F. Miller, III. Problemas de decisión para grupos: estudio y reflexiones. Algoritmos y clasificación en la teoría combinatoria de grupos (Berkeley, CA, 1989), págs. 1–59, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, Nueva York, 1992; ISBN 0-387-97685-X 
14. John Lennox y Derek JS Robinson. La teoría de grupos solubles infinitos. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press , Oxford, 2004. ISBN 0-19-850728-3 
15. G. Baumslag, CF Miller y H. Short. Problemas irresolubles sobre cancelación pequeña y grupos hiperbólicos de palabras. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 26 (1994), págs. 97-101
16. Ilya Kapovich y Richard Weidmann. Grupos kleinianos y el problema de rangos. Geometry and Topology , vol. 9 (2005), págs. 375–402
17. John R. Stallings. Problemas sobre cocientes libres de grupos. Teoría geométrica de grupos (Columbus, Ohio, 1992), págs. 165-182, Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ., 3, de Gruyter, Berlín, 1995. ISBN 3-11-014743-2 
18. AA Razborov. Sistemas de ecuaciones en un grupo libre. (en ruso) Izvestia Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematischeskaya, vol. 48 (1984), núm. 4, págs. 779–832.
19. Ecuaciones GSMakanin en un grupo libre. (ruso), Izvestia Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematischeskaya, vol. 46 (1982), núm. 6, págs. 1199-1273
20. Shelly L. Harvey . Sobre el número de corte de una variedad 3. Geometry & Topology , vol. 6 (2002), págs. 409–424
21. Aschbacher, M. (2002), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, pág. 5, ISBN 978-0-521-78675-1