Condición de cadena ascendente

En matemáticas , la condición de cadena ascendente ( ACC ) y la condición de cadena descendente ( DCC ) son propiedades de finitud satisfechas por algunas estructuras algebraicas , más importantemente ideales en ciertos anillos conmutativos . ^{[1] [2] [3]} Estas condiciones jugaron un papel importante en el desarrollo de la teoría de la estructura de los anillos conmutativos en las obras de David Hilbert , Emmy Noether y Emil Artin . Las condiciones en sí mismas pueden enunciarse en forma abstracta, de modo que tengan sentido para cualquier conjunto parcialmente ordenado . Este punto de vista es útil en la teoría abstracta de la dimensión algebraica debido a Gabriel y Rentschler.

Definición

Se dice que un conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisface la condición de cadena ascendente (ACC) si no existe una secuencia infinita estrictamente ascendente

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

de elementos de P existe. ^[4] Equivalentemente, ^[a] cada secuencia débilmente ascendente

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

de elementos de P finalmente se estabiliza, lo que significa que existe un entero positivo n tal que

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

De manera similar, se dice que P satisface la condición de cadena descendente (DCC) si no hay una cadena descendente infinita de elementos de P. [ ^4] De manera equivalente, cada secuencia débilmente descendente

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

de elementos de P finalmente se estabiliza.

Comentarios

• Suponiendo el axioma de elección dependiente , la condición de cadena descendente en el conjunto poset P (posiblemente infinito) es equivalente a que P esté bien fundado : cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo (también llamado condición mínima o condición mínima ). Un conjunto totalmente ordenado que está bien fundado es un conjunto bien ordenado .
• De manera similar, la condición de cadena ascendente es equivalente a que P sea inversamente bien fundada (de nuevo, asumiendo una elección dependiente): cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento maximal (la condición maximal o condición máxima ).
• Todo conjunto finito satisface tanto las condiciones de cadena ascendente como descendente y, por lo tanto, es a la vez bien fundado y recíprocamente bien fundado.

Ejemplo

Considere el anillo

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

de números enteros. Cada ideal de consiste en todos los múltiplos de algún número . Por ejemplo, el ideal ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

consta de todos los múltiplos de . Sea ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

sea ​​el ideal que consiste en todos los múltiplos de . El ideal está contenido dentro del ideal , ya que cada múltiplo de es también un múltiplo de . A su vez, el ideal está contenido en el ideal , ya que cada múltiplo de es un múltiplo de . Sin embargo, en este punto no hay un ideal mayor; hemos "alcanzado el tope" en . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En general, si son ideales de tal que está contenido en , está contenido en , y así sucesivamente, entonces hay alguno para el cual todos los . Es decir, después de cierto punto todos los ideales son iguales entre sí. Por lo tanto, los ideales de satisfacen la condición de cadena ascendente, donde los ideales están ordenados por inclusión de conjuntos. Por lo tanto es un anillo noetheriano . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Véase también

• Artiniano
• Condición de cadena ascendente para ideales principales
• Dimensión de Krull
• Condición máxima de congruencias
• Noetheriano

Notas

1. Demostración: en primer lugar, es obvio que una sucesión estrictamente creciente no puede estabilizarse. A la inversa, supongamos que existe una sucesión ascendente que no se estabiliza; entonces, es evidente que contiene una subsucesión estrictamente creciente (necesariamente infinita).

Citas

1. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004, pág. 6, Proposición 1.1.4
2. Fraleigh y Katz 1967, pág. 366, Lema 7.1
3. Jacobson 2009, págs. 142, 147
4. Hazewinkel, pág. 580

Referencias

• Atiyah, MF ; MacDonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2690-0
• Hazewinkel, Michiel. Enciclopedia de Matemáticas . Kluwer. ISBN 1-55608-010-7.
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967), Un primer curso de álgebra abstracta (5.ª ed.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica I , Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Enlaces externos

• "¿Es la equivalencia de la condición de cadena ascendente y la condición máxima equivalente al axioma de elección dependiente?".