Palabra (teoría de grupos)

En teoría de grupos , una palabra es cualquier producto escrito de elementos de un grupo y sus inversos. Por ejemplo, si x , y y z son elementos de un grupo G , entonces xy , z ⁻¹ xzz e y ⁻¹ zxx ⁻¹ yz ⁻¹ son palabras del conjunto { x ,  y ,  z }. Dos palabras diferentes pueden evaluar el mismo valor en G , ^[1] o incluso en cada grupo. ^[2] Las palabras juegan un papel importante en la teoría de grupos libres y presentaciones , y son objetos centrales de estudio en la teoría combinatoria de grupos .

Definiciones

Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Una palabra en S es cualquier expresión de la forma

${\displaystyle s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

donde s ₁ ,..., s _n son elementos de S , llamados generadores , y cada ε _i es ±1. El número n se conoce como la longitud de la palabra.

Cada palabra de S representa un elemento de G , es decir, el producto de la expresión. Por convención, el elemento de identidad único ^[3] puede representarse mediante la palabra vacía , que es la única palabra de longitud cero.

Notación

Al escribir palabras, es común utilizar la notación exponencial como abreviatura. Por ejemplo, la palabra

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

Podría escribirse como

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

Esta última expresión no es una palabra en sí misma; es simplemente una notación más corta del original.

Cuando se trabaja con palabras largas, puede ser útil utilizar una línea superior para indicar los inversos de los elementos de S. Si se utiliza la notación de línea superior, la palabra anterior se escribiría de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

Palabras reducidas

Cualquier palabra en la que aparezca un generador junto a su propio inverso ( xx ⁻¹ o x ⁻¹ x ) se puede simplificar omitiendo el par redundante:

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

Esta operación se conoce como reducción y no cambia el elemento del grupo representado por la palabra. Las reducciones pueden considerarse como relaciones (definidas a continuación) que se desprenden de los axiomas del grupo .

Una palabra reducida es una palabra que no contiene pares redundantes. Cualquier palabra puede simplificarse a una palabra reducida realizando una secuencia de reducciones:

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

El resultado no depende del orden en que se realicen las reducciones.

Una palabra se reduce cíclicamente si y sólo si se reduce cada permutación cíclica de la palabra.

Operaciones sobre palabras

El producto de dos palabras se obtiene por concatenación:

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

Incluso si se reducen las dos palabras, el producto puede no serlo.

La inversa de una palabra se obtiene invirtiendo cada generador e invirtiendo el orden de los elementos:

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

El producto de una palabra por su inversa se puede reducir a la palabra vacía:

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

Puedes mover un generador del principio al final de una palabra mediante la conjugación :

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

Conjunto generador de un grupo

Un subconjunto S de un grupo G se denomina conjunto generador si cada elemento de G puede representarse mediante una palabra en S.

Cuando S no es un conjunto generador de G , el conjunto de elementos representados por las palabras en S es un subgrupo de G , conocido como el subgrupo de G generado por S y generalmente denotado como . Es el subgrupo más pequeño de G que contiene los elementos de S . ${\displaystyle \langle S\rangle }$

Formas normales

Una forma normal para un grupo G con un conjunto generador S es la elección de una palabra reducida en S para cada elemento de G. Por ejemplo:

• Las palabras 1, i , j , ij son una forma normal para el grupo de cuatro de Klein con S = { i ,   j } y 1 representando la palabra vacía (el elemento identidad del grupo).
• Las palabras 1, r , r ² , ..., r ^n-1 , s , sr , ..., sr ^n-1 son una forma normal para el grupo diedro Dih _n con S = { s ,   r } y 1 como arriba.
• El conjunto de palabras de la forma x ^m y ⁿ para m,n  ∈  Z son una forma normal para el producto directo de los grupos cíclicos ⟨ x ⟩ y ⟨ y ⟩ con S = { x ,   y }.
• El conjunto de palabras reducidas en S son la única forma normal para el grupo libre sobre S.

Relaciones y presentaciones

Si S es un conjunto generador para un grupo G , una relación es un par de palabras en S que representan el mismo elemento de G . Estas suelen escribirse como ecuaciones, p. ej. Un conjunto de relaciones define G si cada relación en G se sigue lógicamente de aquellas en utilizando los axiomas para un grupo . Una presentación para G es un par , donde S es un conjunto generador para G y es un conjunto definitorio de relaciones. ${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Por ejemplo, el grupo de cuatro de Klein se puede definir mediante la presentación

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

Aquí 1 denota la palabra vacía, que representa el elemento identidad.

Grupos libres

Si S es un conjunto cualquiera, el grupo libre sobre S es el grupo con presentación . Es decir, el grupo libre sobre S es el grupo generado por los elementos de S , sin relaciones extra. Cada elemento del grupo libre puede escribirse de forma única como una palabra reducida en S . ${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$

Véase también

• Problema de palabras (matemáticas)
• Problema de palabras para grupos

Notas

1. por ejemplo, f _d r ₁ y r ₁ f _c en el grupo de simetrías cuadradas
2. por ejemplo, xy y xzz ⁻¹ y
3. Unicidad del elemento identidad y sus inversos

Referencias

• Epstein, David ; Cannon, JW ; Holt, DF; Levy, SVF; Paterson, MS ; Thurston, WP (1992). Procesamiento de textos en grupos . AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Novikov, PS (1955). "Sobre la insolubilidad algorítmica del problema verbal en la teoría de grupos". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). 44 : 1–143.
• Robinson, Derek John Scott (1996). Un curso sobre la teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E ; Lyndon, Roger C. (2001). Teoría de grupos combinatorios . Berlín: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitar, Donald ; Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham (2004). Teoría combinatoria de grupos: presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
• Stillwell, John (1993). Topología clásica y teoría combinatoria de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.