Propiedad de elevación

En matemáticas , en particular en teoría de categorías , la propiedad de elevación es una propiedad de un par de morfismos en una categoría . Se utiliza en la teoría de la homotopía dentro de la topología algebraica para definir propiedades de morfismos a partir de una clase de morfismos explícitamente dada. Aparece de manera destacada en la teoría de categorías modelo , un marco axiomático para la teoría de la homotopía introducido por Daniel Quillen . También se utiliza en la definición de un sistema de factorización y de un sistema de factorización débil , nociones relacionadas pero menos restrictivas que la noción de categoría de modelo. También se pueden expresar varias nociones elementales utilizando la propiedad de elevación a partir de una lista de (contra)ejemplos.

Definicion formal

Un morfismo en una categoría tiene la propiedad de elevación hacia la izquierda con respecto a un morfismo , y también tiene la propiedad de elevación hacia la derecha con respecto a , a veces denotado o , si y solo, la siguiente implicación es válida para cada morfismo y en la categoría: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\perp p}$ ${\displaystyle i\downarrow p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, entonces existe completar el diagrama, es decir, para cada uno y tal que existe tal que y . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f:A\to X}$ ${\displaystyle g:B\to Y}$ ${\displaystyle p\circ f=g\circ i}$ ${\displaystyle h:B\to X}$ ${\displaystyle h\circ i=f}$ ${\displaystyle p\circ h=g}$

Esto a veces también se conoce como que el morfismo es ortogonal al morfismo ; sin embargo, esto también puede referirse a la propiedad más fuerte de que siempre que y sean como se indica arriba, el morfismo diagonal existe y también se requiere que sea único. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Para una clase de morfismos en una categoría, su ortogonal izquierda o con respecto a la propiedad de elevación, respectivamente su ortogonal derecha o , es la clase de todos los morfismos que tienen la propiedad de elevación izquierda, respectivamente derecha, con respecto a cada morfismo en la clase. . En notación, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell }}$ ${\displaystyle C^{\perp }}$ ${\displaystyle C^{\perp r}}$ ${\displaystyle {}^{\perp }C}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp \ell }&:=\{i\mid \forall p\in C,i\perp p\}\\C^{\perp r}&:=\{p\mid \forall i\in C,i\perp p\}\end{aligned}}}$$

Tomar la ortogonal de una clase es una forma sencilla de definir una clase de morfismos excluyendo los no isomorfismos de , de una manera que resulta útil en un cálculo de búsqueda de diagramas . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Así, en la categoría Conjunto de conjuntos , la ortogonal derecha de la no sobreyección más simple es la clase de sobreyección. Las ortogonales izquierda y derecha de la no inyección más simple son precisamente la clase de inyecciones, ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$ ${\displaystyle \emptyset \to \{*\},}$ ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\to \{*\},}$

$${\displaystyle \{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp \ell }=\{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp r}=\{f\mid f{\text{ is an injection }}\}.}$$

Está claro que y . La clase siempre está cerrada bajo retracciones, retrocesos , productos (pequeños) (siempre que existan en la categoría) y composición de morfismos, y contiene todos los isomorfismos (es decir, morfismos invertibles) de la categoría subyacente. Mientras tanto, está cerrado bajo retracciones, expulsiones , coproductos (pequeños) y composición transfinita ( colimits filtrados ) de morfismos (siempre que existan en la categoría), y también contiene todos los isomorfismos. ${\displaystyle C^{\perp \ell r}\supset C}$ ${\displaystyle C^{\perp r\ell }\supset C}$ ${\displaystyle C^{\perp r}}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell }}$

Ejemplos

Se pueden definir varias nociones pasando a la ortogonal izquierda o derecha varias veces a partir de una lista de ejemplos explícitos, es decir, como , donde es una clase que consta de varios morfismos dados explícitamente. Una intuición útil es pensar que la propiedad de levantarse hacia la izquierda contra una clase es una especie de negación de la propiedad de estar en , y que el levantamiento hacia la derecha es también un tipo de negación. Por lo tanto, las clases obtenidas al tomar ortogonales un número impar de veces, como etc., representan varios tipos de negación de , por lo que cada una consta de morfismos que están lejos de tener la propiedad . ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r},C^{\perp \ell \ell }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$ ${\displaystyle C}$

Ejemplos de propiedades de elevación en topología algebraica.

Un mapa tiene la propiedad de elevación de ruta si yff donde es la inclusión de un punto final del intervalo cerrado en el intervalo . ${\displaystyle f:U\to B}$ ${\displaystyle \{0\}\to [0,1]\perp f}$ ${\displaystyle \{0\}\to [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Un mapa tiene la propiedad de elevación de homotopía si y sólo si dónde está el mapa . ${\displaystyle f:U\to B}$ ${\displaystyle X\to X\times [0,1]\perp f}$ ${\displaystyle X\to X\times [0,1]}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$

Ejemplos de propiedades de elevación procedentes de categorías de modelos.

Fibraciones y cofibraciones.

• Sea Top la categoría de espacios topológicos y sea la clase de mapas , incrustaciones del límite de una bola en la bola . Sea la clase de mapas que incrustan la semiesfera superior en el disco. son las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. ^[1] ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle S^{n}\to D^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}}$ ${\displaystyle D^{n+1}}$ ${\displaystyle WC_{0}}$ ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

• Sea sSet la categoría de conjuntos simpliciales . Sea la clase de inclusiones límite y sea la clase de inclusiones córneas . Entonces las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones son, respectivamente ,. ^[2] ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \partial \Delta [n]\to \Delta [n]}$ ${\displaystyle WC_{0}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{i}[n]\to \Delta [n]}$ ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

• Sea la categoría de complejos de cadena sobre un anillo conmutativo . Sea la clase de mapas de forma. ${\displaystyle \mathbf {Ch} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{0}}$

$${\displaystyle \cdots \to 0\to R\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots ,}$$

y se ${\displaystyle WC_{0}}$

$${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots .}$$

Luego están las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. ^[3] ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

Ejemplos elementales en varias categorías.

En conjunto ,

• ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$es la clase de sobrejecciones,

• ${\displaystyle (\{a,b\}\to \{*\})^{\perp r}=(\{a,b\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$es la clase de inyecciones.

En la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo , ${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$ ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r},\{R\to 0\}^{\perp r}}$es la clase de sobrejecciones, resp. inyecciones,

• Un módulo es proyectivo , resp. inyectivo , si y solo está en , resp. es en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to M}$ ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r\ell }}$ ${\displaystyle M\to 0}$ ${\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp rr}}$

En la categoría de grupos , ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$

• ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \to 0\}^{\perp r}}$, resp. , es la clase de inyecciones, resp. sobreyecciones (donde denota el grupo cíclico infinito ), ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Un grupo es un grupo libre si está en ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0\to F}$ ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r\ell },}$

• Un grupo está libre de torsión si y si está en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\to A}$ ${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r},}$

• Un subgrupo de es puro si y sólo si está en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}.}$

Para un grupo finito , ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle \{0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\}\perp G\to 1}$si el orden de es primo de , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

• ${\displaystyle G\to 1\in (0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })^{\perp rr}}$si es un grupo , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

• ${\displaystyle H}$es nilpotente si el mapa diagonal está en donde denota la clase de mapas ${\displaystyle H\to H\times H}$ ${\displaystyle (1\to *)^{\perp \ell r}}$ ${\displaystyle (1\to *)}$ ${\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\},}$

• un grupo finito es soluble si y solo si está en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1\to H}$
  $${\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}$$

En la categoría de espacios topológicos, dejemos , resp. denotar el discreto , resp. espacio antidiscreto con dos puntos 0 y 1. Denotemos el espacio de Sierpinski de dos puntos donde el punto 0 está abierto y el punto 1 está cerrado, y dejemos que etc. denoten las incrustaciones obvias. ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \{0\leftrightarrow 1\}}$ ${\displaystyle \{0\to 1\}}$ ${\displaystyle \{0\}\to \{0\to 1\},\{1\}\to \{0\to 1\}}$

• un espacio satisface el axioma de separación T si está en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• un espacio satisface el axioma de separación T 1 si está en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset \to X}$ ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• ${\displaystyle (\{1\}\to \{0\to 1\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas con imagen densa ,

• ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas tal que la topología es el retroceso de la topología , es decir, la topología es la topología con el menor número de conjuntos abiertos de manera que el mapa es continuo , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r}}$es la clase de mapas sobreyectivos,

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell }}$es la clase de aplicaciones de forma donde es discreta, ${\displaystyle A\to A\cup D}$ ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell \ell }=(\{a\}\to \{a,b\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas tales que cada componente conectado de se cruza , ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} A}$

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp r}}$es la clase de mapas inyectivos,

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas tal que la preimagen de un subconjunto abierto cerrado conectado de es un subconjunto abierto cerrado conectado de , por ejemplo, está conectado si y no está en , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$

• para un espacio conexo , cada función continua está acotada si y sólo si, ¿dónde está el mapa de la unión disjunta de intervalos abiertos en la línea real? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset \to X\perp \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-n,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• un espacio es Hausdorff si y así para cualquier aplicación inyectiva , se cumple donde denota el espacio de tres puntos con dos puntos abiertos y , y un punto cerrado , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X\perp \{a\to x\leftarrow b\}\to \{*\}}$ ${\displaystyle \{a\leftarrow x\to b\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

• un espacio es perfectamente normal si y si donde va  el intervalo abierto , y se asigna al punto , y se asigna al punto , y denota el espacio de tres puntos con dos puntos cerrados y un punto abierto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset \to X\perp [0,1]\to \{0\leftarrow x\to 1\}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{0\leftarrow x\to 1\}}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle x}$

En la categoría de espacios métricos con mapas uniformemente continuos .

• Un espacio es completo si y si donde es la inclusión obvia entre los dos subespacios de la recta real con métrica inducida, y es el espacio métrico formado por un solo punto, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp X\to \{0\}}$ ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0\}}$

• Un subespacio está cerrado si y así ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}$

Notas

1. Hovey, Mark. Categorías de modelos.Def. 2.4.3, Th.2.4.9
2. Hovey, Mark. Categorías de modelos.Def. 3.2.1, Th.3.6.5
3. Hovey, Mark. Categorías de modelos.Def. 2.3.3, Th.2.3.11

Referencias

• Hovey, Mark (1999). Categorías de modelos.