El lema de Schanuel

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de módulos , el lema de Schanuel , que lleva el nombre de Stephen Schanuel , permite comparar hasta qué punto los módulos se alejan de ser proyectivos . Es útil para definir el operador Heller en la categoría estable y para dar descripciones elementales del cambio de dimensión .

Declaración

El lema de Schanuel es la siguiente afirmación:

Si 0 →  K  →  P  →  M  → 0 y 0 →  K′  →  P′  →  M  → 0 son secuencias cortas exactas de R -módulos y P y P′ son proyectivos, entonces K ⊕ P′ es isomorfo a K′ ⊕ P .

Prueba

Defina el siguiente submódulo de P ⊕ P′ , donde φ : P → M y φ′ : P′ → M :

${\displaystyle X=\{(p,q)\in P\oplus P':\phi (p)=\phi '(q)\}.}$

El mapa π: X → P , donde π se define como la proyección de la primera coordenada de X en P , es sobreyectivo . Dado que φ′ es sobreyectiva, para cualquier p en P , se puede encontrar una q en P′ tal que φ( p ) = φ′( q ). Esto da ( p , q ) X con π( p , q ) = p . Ahora examine el núcleo del mapa π: ${\displaystyle \in }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker \pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi '(q)=0\}\\&\cong \ker \phi '\cong K'.\end{aligned}}}$

Podemos concluir que existe una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle 0\rightarrow K'\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.}$

Como P es proyectivo, esta secuencia se divide , entonces X ≅ K′ ⊕ P . De manera similar, podemos escribir otro mapa π : X → P′ , y el mismo argumento anterior muestra que hay otra secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P'\rightarrow 0,}$

y entonces X ≅ P′ ⊕ K . Combinando las dos equivalencias para X se obtiene el resultado deseado.

Secuencias largas y exactas.

El argumento anterior también puede generalizarse a secuencias largas y exactas . ^[1]

Orígenes

Stephen Schanuel descubrió el argumento en el curso de álgebra homológica de Irving Kaplansky en la Universidad de Chicago en otoño de 1958. Kaplansky escribe:

Al principio del curso formé una resolución proyectiva de un paso de un módulo y señalé que si el núcleo era proyectivo en una resolución, lo era en todas. Agregué que, aunque la afirmación era tan simple y directa, pasaría algún tiempo antes de que la probáramos. Steve Schanuel habló y nos dijo a mí y a la clase que era bastante fácil, y entonces esbozó lo que se conoce como "el lema de Schanuel". ^[2]

Notas

1. Lam, TY (1999). Conferencias sobre Módulos y Anillos . Saltador. ISBN 0-387-98428-3.págs. 165–167.
2. Kaplansky, Irving (1972). Campos y Anillos . Conferencias de Matemáticas de Chicago (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 165-168. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500.