Secuencia espectral de Eilenberg-Moore

En matemáticas , en el campo de la topología algebraica , la secuencia espectral de Eilenberg-Moore aborda el cálculo de los grupos de homología de un pullback sobre una fibración . La secuencia espectral formula el cálculo a partir del conocimiento de la homología de los espacios restantes. El artículo original de Samuel Eilenberg y John C. Moore aborda esto en busca de homología singular .

Motivación

Sea un campo y denote homología singular y cohomología singular con coeficientes en k , respectivamente . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{\ast }(-)=H_{\ast }(-,k)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(-)=H^{\ast }(-,k)}$

Considere el siguiente retroceso de un mapa continuo p : ${\displaystyle E_{f}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c c c}E_{f}&\rightarrow &E\\\downarrow &&\downarrow {p}\\X&\rightarrow _{f}&B\\\end{array}}}$

Una pregunta frecuente es cómo se relaciona la homología del producto de fibra con la homología de B , X y E. Por ejemplo, si B es un punto, entonces el retroceso es simplemente el producto habitual . En este caso la fórmula de Künneth dice ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle E\times X}$

${\displaystyle H^{*}(E_{f})=H^{*}(X\times E)\cong H^{*}(X)\otimes _{k}H^{*}(E).}$

Sin embargo, esta relación no es cierta en situaciones más generales. La secuencia espectral de Eilenberg-Moore es un dispositivo que permite calcular la (co)homología del producto de fibra en determinadas situaciones.

Declaración

Las secuencias espectrales de Eilenberg-Moore generalizan el isomorfismo anterior a la situación donde p es una fibración de espacios topológicos y la base B está simplemente conexa . Entonces hay una secuencia espectral convergente con

${\displaystyle E_{2}^{\ast ,\ast }={\text{Tor}}_{H^{\ast }(B)}^{\ast ,\ast }(H^{\ast }(X),H^{\ast }(E))\Rightarrow H^{\ast }(E_{f}).}$

Esta es una generalización en la medida en que el functor Tor cero es solo el producto tensorial y en el caso especial anterior la cohomología del punto B es solo el campo de coeficientes k (en grado 0).

Dualmente, tenemos la siguiente secuencia espectral de homología:

${\displaystyle E_{\ast ,\ast }^{2}={\text{Cotor}}_{\ast ,\ast }^{H_{\ast }(B)}(H_{\ast }(X),H_{\ast }(E))\Rightarrow H_{\ast }(E_{f}).}$

Indicaciones sobre la prueba.

La secuencia espectral surge del estudio de objetos graduados diferenciales ( complejos de cadenas ), no de espacios. A continuación se analiza la construcción homológica original de Eilenberg y Moore. El caso de cohomología se obtiene de manera similar.

Dejar

${\displaystyle S_{\ast }(-)=S_{\ast }(-,k)}$

Sea el funtor de cadena singular con coeficientes en . Según el teorema de Eilenberg-Zilber , tiene una estructura de coalgebra graduada diferencial con mapas de estructura ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{\ast }(B)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle S_{\ast }(B){\xrightarrow {\triangle }}S_{\ast }(B\times B){\xrightarrow {\simeq }}S_{\ast }(B)\otimes S_{\ast }(B).}$

En términos prácticos, el mapa asigna a una cadena singular s : Δ ⁿ → B la composición de s y la inclusión diagonal B ⊂ B × B . De manera similar, los mapas y mapas inducidos de coalgebras graduadas diferenciales ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f_{\ast }\colon S_{\ast }(X)\rightarrow S_{\ast }(B)}$, . ${\displaystyle p_{\ast }\colon S_{\ast }(E)\rightarrow S_{\ast }(B)}$

En el lenguaje de los comódulos , dotan y con estructuras de cómódulos graduadas diferenciales sobre , con mapas de estructura. ${\displaystyle S_{\ast }(E)}$ ${\displaystyle S_{\ast }(X)}$ ${\displaystyle S_{\ast }(B)}$

${\displaystyle S_{\ast }(X){\xrightarrow {\triangle }}S_{\ast }(X)\otimes S_{\ast }(X){\xrightarrow {f_{\ast }\otimes 1}}S_{\ast }(B)\otimes S_{\ast }(X)}$

y de manera similar para E en lugar de X . Ahora es posible construir la llamada resolución cobar para

${\displaystyle S_{\ast }(X)}$

como módulo de grado diferencial. La resolución cobar es una técnica estándar en álgebra homológica diferencial: ${\displaystyle S_{\ast }(B)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}(S_{\ast }(X),S_{\ast }(B))=\cdots {\xleftarrow {\delta _{2}}}{\mathcal {C}}_{-2}(S_{\ast }(X),S_{\ast }(B)){\xleftarrow {\delta _{1}}}{\mathcal {C}}_{-1}(S_{\ast }(X),S_{\ast }(B)){\xleftarrow {\delta _{0}}}S_{\ast }(X)\otimes S_{\ast }(B),}$

donde el n -ésimo término está dado por ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{-n}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{-n}(S_{\ast }(X),S_{\ast }(B))=S_{\ast }(X)\otimes \underbrace {S_{\ast }(B)\otimes \cdots \otimes S_{\ast }(B)} _{n}\otimes S_{\ast }(B).}$

Los mapas están dados por ${\displaystyle \delta _{n}}$

${\displaystyle \lambda _{f}\otimes \cdots \otimes 1+\sum _{i=2}^{n}1\otimes \cdots \otimes \triangle _{i}\otimes \cdots \otimes 1,}$

¿Dónde está el mapa de estructura para un comodulo izquierdo? ${\displaystyle \lambda _{f}}$ ${\displaystyle S_{\ast }(X)}$ ${\displaystyle S_{\ast }(B)}$

La resolución de cobar es bicompleja , un grado proviene de la clasificación de los complejos de cadena S _∗ (-), el otro es el grado simplicial n . Se denota el complejo total del bicomplejo . ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {C}} _{\bullet }}$

El vínculo de la construcción algebraica anterior con la situación topológica es el siguiente. Bajo los supuestos anteriores, existe un mapa

${\displaystyle \Theta \colon \mathbf {\mathcal {C}} _{\bullet {{\text{ }}\Box _{S_{\ast }(B)}}}S_{\ast }(E)\rightarrow S_{\ast }(E_{f},k)}$

que induce un cuasi-isomorfismo (es decir, que induce un isomorfismo en grupos de homología)

${\displaystyle \Theta _{\ast }\colon \operatorname {Cotor} ^{S_{\ast }(B)}(S_{\ast }(X)S_{\ast }(E))\rightarrow H_{\ast }(E_{f}),}$

donde es el producto cotensor y Cotor (cotorsión) es el funtor derivado del producto cotensor. ${\displaystyle \Box _{S_{\ast }(B)}}$

Calcular

${\displaystyle H_{\ast }(\mathbf {\mathcal {C}} _{\bullet {{\text{ }}\Box _{S_{\ast }(B)}}}S_{\ast }(E))}$,

vista

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {C}} _{\bullet {{\text{ }}\Box _{S_{\ast }(B)}}}S_{\ast }(E)}$

como un doble complejo .

Para cualquier bicomplejo existen dos filtraciones (ver John McCleary (2001) o la secuencia espectral de un complejo filtrado); en este caso, la secuencia espectral de Eilenberg-Moore resulta del filtrado por grado homológico creciente (por columnas en la imagen estándar de una secuencia espectral). Esta filtración produce

${\displaystyle E^{2}=\operatorname {Cotor} ^{H_{\ast }(B)}(H_{\ast }(X),H_{\ast }(E)).}$

Estos resultados se han perfeccionado de varias maneras. Por ejemplo, William G. Dwyer  (1975) refinó los resultados de convergencia para incluir espacios para los cuales

${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

actúa nilpotentemente sobre

${\displaystyle H_{i}(E_{f})}$

para todos y Brooke Shipley  (1996) generalizó aún más esto para incluir retrocesos arbitrarios. ${\displaystyle i\geq 0}$

La construcción original no se presta a cálculos con otras teorías de homología, ya que no hay razón para esperar que tal proceso funcione para una teoría de homología que no se derive de complejos de cadenas. Sin embargo, es posible axiomatizar el procedimiento anterior y dar condiciones bajo las cuales la secuencia espectral anterior es válida para una teoría de (co)homología general, ver el trabajo original de Larry Smith (Smith 1970) o la introducción en (Hatcher 2002).

Referencias

• Dwyer, William G. (1975), "Convergencia exótica de la secuencia espectral de Eilenberg-Moore", Illinois Journal of Mathematics , 19 (4): 607–617, doi : 10.1215/ijm/1256050669 , ISSN  0019-2082, SEÑOR  0383409
• Eilenberg, Samuel ; Moore, John C. (1962), "Límites y secuencias espectrales", Topología , 1 (1): 1–23, doi : 10.1016/0040-9383(62)90093-9
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
• McCleary, John (2001), "Capítulos 7 y 8: La secuencia espectral I y II de Eilenberg-Moore", Guía del usuario sobre secuencias espectrales , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 58, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-56759-6
• Shipley, Brooke E. (1996), "Convergencia de la secuencia espectral de homología de un espacio cosimplicial", American Journal of Mathematics , 118 (1): 179–207, CiteSeerX  10.1.1.549.661 , doi :10.1353/ajm.1996.0004 , S2CID  14725161
• Smith, Larry (1970), Conferencias sobre la secuencia espectral de Eilenberg-Moore , Lecture Notes in Mathematics, vol. 134, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0275435

Otras lecturas

• Allen Hatcher, Secuencias espectrales en topología algebraica, capítulo 3. Espacios de Eilenberg-MacLane [1]