Nilpotente

Elemento de un anillo cuya potencia es 0

En matemáticas , un elemento de un anillo se llama nilpotente si existe algún entero positivo , llamado índice (o a veces grado ), tal que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}=0}$

El término, junto con su término hermano idempotente , fue introducido por Benjamin Peirce en el contexto de su trabajo sobre la clasificación de las álgebras. ^[1]

Ejemplos

• Esta definición se puede aplicar en particular a las matrices cuadradas . La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

es nilpotente porque . Ver matriz nilpotente para más información. ${\displaystyle A^{3}=0}$

• En el anillo factorial , la clase de equivalencia de 3 es nilpotente porque 3 ² es congruente con 0 módulo 9. ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$
• Supóngase que dos elementos y en un anillo satisfacen . Entonces el elemento es nilpotente como Un ejemplo con matrices (para a ,  b ): Aquí y . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle c=ba}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle AB=0}$ ${\displaystyle BA=B}$

• Por definición, cualquier elemento de un nilsemigrupo es nilpotente.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente puede ser una unidad (excepto en el anillo trivial , que tiene un solo elemento 0 = 1 ). Todos los elementos nilpotentes son divisores de cero .

Una matriz con entradas de un campo es nilpotente si y sólo si su polinomio característico es . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t^{n}}$

Si es nilpotente, entonces es una unidad , porque implica ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-x}$ ${\displaystyle x^{n}=0}$ $${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$$

De manera más general, la suma de un elemento unitario y un elemento nilpotente es una unidad cuando conmutan.

Anillos conmutativos

Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo forman un ideal ; esto es una consecuencia del teorema del binomio . Este ideal es el radical nil del anillo. Cada elemento nilpotente en un anillo conmutativo está contenido en cada ideal primo de ese anillo, ya que . Por lo tanto está contenido en la intersección de todos los ideales primos. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

Si no es nilpotente, podemos localizar con respecto a las potencias de : para obtener un anillo distinto de cero . Los ideales primos del anillo localizado corresponden exactamente a los ideales primos de con . ^[2] Como todo anillo conmutativo distinto de cero tiene un ideal maximal, que es primo, todo no nilpotente no está contenido en ningún ideal primo. Por tanto, es exactamente la intersección de todos los ideales primos. ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

Una característica similar a la del radical de Jacobson y a la aniquilación de módulos simples se encuentra para el radical nil: los elementos nilpotentes del anillo son precisamente aquellos que aniquilan todos los dominios integrales internos al anillo (esto es, de la forma para ideales primos ). Esto se deduce del hecho de que el radical nil es la intersección de todos los ideales primos. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$

Elementos nilpotentes en el álgebra de Lie

Sea un álgebra de Lie . Entonces, un elemento se llama nilpotente si está en y es una transformación nilpotente. Véase también: Descomposición de Jordan en un álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$

La nilpotencia en la física

Cualquier operador de escalera en un espacio de dimensión finita es nilpotente. Representan operadores de creación y aniquilación , que transforman de un estado a otro, por ejemplo las matrices de Pauli de elevación y de descenso . ${\displaystyle \sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2}$

Un operando que satisface es nilpotente. Los números de Grassmann que permiten una representación integral de trayectorias para los campos fermiónicos son nilpotentes ya que sus cuadrados se anulan. La carga BRST es un ejemplo importante en física . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q^{2}=0}$

Como los operadores lineales forman un álgebra asociativa y, por lo tanto, un anillo, este es un caso especial de la definición inicial. ^{[4] [5]} De manera más general, en vista de las definiciones anteriores, un operador es nilpotente si existe tal que (la función cero ). Por lo tanto, una función lineal es nilpotente si tiene una matriz nilpotente en alguna base. Otro ejemplo de esto es la derivada exterior (de nuevo con ). Ambas están vinculadas, también a través de la supersimetría y la teoría de Morse , ^[6] como lo muestra Edward Witten en un artículo célebre. ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Q^{n}=0}$ ${\displaystyle n=2}$

El campo electromagnético de una onda plana sin fuentes es nilpotente cuando se expresa en términos del álgebra del espacio físico . ^[8] De manera más general, la técnica de microaditividad (que puede usarse para derivar teoremas en física) hace uso de infinitesimales nilpotentes o nilcuadrados y es parte del análisis infinitesimal suave .

Nilpotentes algebraicos

Los números duales bidimensionales contienen un espacio nilpotente. Otras álgebras y números que contienen espacios nilpotentes incluyen los cuaterniones divididos (cocuaterniones), los octoniones divididos , los bicuaterniones y los octoniones complejos . Si un infinitesimal nilpotente es una variable que tiende a cero, se puede demostrar que cualquier suma de términos de los que es sujeto es una proporción indefinidamente pequeña del término de primer orden. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$

Véase también

• Elemento idempotente (teoría de anillos)
• Unipotente
• Anillo reducido
• Ningún ideal
• Matriz nilpotente

Referencias

1. Polcino Milies y Sehgal (2002), Introducción a los anillos de grupo . pág. 127.
2. Matsumura, Hideyuki (1970). "Capítulo 1: Resultados elementales". Álgebra conmutativa . WA Benjamín. pag. 6.ISBN​ 978-0-805-37025-6.
3. Atiyah, MF; MacDonald, IG (21 de febrero de 1994). "Capítulo 1: Anillos e ideales". Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. pág. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
4. Peirce, B. Álgebra asociativa lineal . 1870.
5. Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. Introducción a los anillos de grupo . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
6. A. Rogers, La partícula topológica y la teoría de Morse , Clase. Quantum Grav. 17:3703–3714, 2000 doi :10.1088/0264-9381/17/18/309.
7. E Witten, Supersimetría y teoría de Morse . J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
8. Rowlands, P. De cero a infinito: los fundamentos de la física , Londres, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1